GEOMETRIA ESPACIAL

GEOMETRIA ESPACIAL

1. Prisma

   • Estudar os prismas é de extrema importância para a realização de obras. Quase sempre presente em construções de edifícios, piscinas... é necessário calcularmos a quantidade de material gasto por exemplo, utilizando então as fórmulas de Área total.
   • Denomina-se prisma um sólido geométrico caracterizado por ser um poliedro convexo com DUAS BASES congruentes e paraleleas (polígonos iguais)
     • Não existindo um pré requisito para a sua base. Podendo variar para qualquer sólido geométrico plano. Entre eles: Quadrado, triângulo hexaedro etc.
     • FÓRMULAS PRISMA:
       • DADOS: r= raio| Ab= Área da Base| Al= Área lateral | At= Área Total |V= volume|h= altura|
       • At= 2.Ab+ Al| V= Ab. h
     • CUBO
       • Sólido geométrico composto de 6 faces quadradas de igual tamanho formando um hexaedro
         • FÓRMULAS CUBO
           • DADOS: a= Aresta ou lado| D= Diagonal do cubo| d= diagonal da face| V= Volume| At= Área total| Al= Área lateral|
           • d= a√2| D= a√3| At= 6.a² | Al= 4.a²| V= a³
         • PARALELEPÍPEDO
           • Um cubo pode ser considerado um paralelepípedo, entretanto o que difere os dois são as suas medidas. No cubo temos que todas as suas medidas das arestas são iguais (a) e no palelepípedo temos que três de suas medidas das arestas são diferentes (a;b;c)
             • FÓRMULAS PARALELEPÍPEDO
               • DADOS: a b c = Arestas| D= Diagonal do cubo| d= diagonal da face| V= Volume| At= Área total| Al= Área lateral|
               • At= 2.(a.b+a.c+b.c)| V= a.b.c
           • REPRESENTAÇÃO
       • REPRESENTAÇÃO
     • FÓRMULAS POLIEDRO CONVEXO
       • DADOS: A= Aresta V= Vértice F= Faces n° lados= número de lados
       • V+F= A+2 A= F. n°l /2
         • VAMOS FAZER AMOR A DOIS?
       • CONVEXO OU NÃO CONVEXO?
         • Os poliedros não convexos são chamados de POLIEDROS CÔNCAVOS 
       • POLIEDRO REGULAR/ POLIEDRO DE PLATÃO
         • • Aqui temos uma simplificação e uma forma de memorização para cada poliedro regular. Onde T= TETRAEDRO com 4 faces triangulares H= HEXAEDRO com 6 faces quadrangulares (cubo) O= OCTAEDRO com 8 faces triangulares D= DODECAEDRO com doze faces pentagonais I= ICOSAEDRO com 20 faces triangulares
         • Um poliedro é considerado regular quando tiverem como todas as suas faces polígonos regulares e congruentes. As faces precisam ser idênticas
   • REPRESENTAÇÃO

2. Pirâmide

   • Identificar uma pirâmide é uma atividade extremamente fácil. Denomina-se pirâmide quando temos como base um polígono que está em um determinado plano e possui um vértice isolado
     • É preciso que exista uma ligação entre o ponto mais alto com as extremidades do polígono que se localiza na superfície
     • REPRESENTAÇÃO
   • FÓRMULAS PIRÂMIDE
     • V= Ab.h/3| r²= (ap)²+(a/2)²| (al)²= (AP)²+ (a/2)²| (al)²= h²+ r²| (AP)²= h²+ (ap)²
     • DADOS: r= raio da base| h= altura| a= aresta da base| Ap= Apótema da pirâmide| ap= apótema da base| al= aresta lateral| At= Área total| Ab= Área da base| Al= Área lateral| V= Volume

3. Corpos redondos

   • Essas figuras possuem características semelhantes, como: São sólidos que possuem as bases em forma de círculo. São sólidos que colocados em um plano inclinado rolam.
   • CILINDRO
     •   Componentes do cilindro:Os  principais componentes de um cilindro são:  Base: É cada um dos círculos, superior e inferior;  Eixo: É areta que passa pelo centro das bases; Raio (r): É oraio das bases; Altura (h): É adistância entre os planos das duas bases; Geratriz (g): Écada um dos segmentos de reta que vão de uma base a outra.  
     • Denomina-se cilindro o sólido geométrico que é alongado e arredondado que possui o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento.
       • apresenta dois círculos com raios de medidas equivalentes os quais estão situados em planos paralelos.
       • CONE
         • Cone reto: O cone reto é formado por uma base circular e uma reta ligada ao vértice superior. A reta é perpendicular a base e liga o centro da circunferência.   
         • Cone Oblíquo: Os cones oblíquos são os cones onde a reta que parte da base e liga o vértice superior não é perpendicular a base. Assim, a reta e a base não forma um ângulo reto.   
         • Cone Equilátero: Um cone circular reto é equilátero quando a seção meridiana é um triângulo equilátero. Dessa forma, a geratriz é igual a duas vezes o raio da base circular, ou seja, a medida da geratriz é igual ao diâmetro da base. E a altura do cone é dada pela fórmula: h = R√3.   
         • O cone é uma figura geométrica espacial com formato de pirâmide. O cone é tridimensional, ou seja, como faz parte dos estudo da geometria espacial, ele está disposto no plano através das coordenadas x, y e z.
           • ESFERA
             • A esfera é um sólido geométrico obtido através da rotação do semicírculo em torno de um eixo. É composto por uma superfície fechada na medida que todos os pontos estão equidistantes do centro (O)
               • FÓRMULAS
                 • DADOS: Ae = área da esfera| π (Pi) = constante de valor 3,14| r = raio | V = Volume
                 • Ae = 4.п.r2| V= 4.п.r3/3.
               • REPRESENTAÇÃO
           • REPRESENTAÇÃO
           • FÓRMULAS
             • DADOS: ab= aréa da base| Al= Área lateral| At= Área Total| V= volume| r= raio| h= altura| G ou g é a medida da geratriz|π (Pi): 3,14
             • Ab = π . r² | Al = π . r . G | At = π . r . (g + r) |V = 1⁄3 . π . r² . h |
       • REPRESENTAÇÃO
         • ...
       • FÓRMULAS
         • DADOS: Ab= Área da base| h= altura| At= Área total| Al: Área lateral: r=raio| h= altura| V= Volume| π (Pi): 3,14
         • At= 2.Ab+Al ou At = 2(π.r2) + 2(π.r.h) |V = Ab.h ou V = π.r2.h | Al= 2 π.r.h | Ab= π.r2|
   • SÓLIDOS DE REVOLÇÃO
     • Uma figura geométrica que pode ser obtida através de uma rotação no plano de curva, girando em torno de uma reta no mesmo plano, é chamada de sólido de revolução.   
     • O cilindro, por exemplo, é um sólido obtido através da rotação de um retângulo sobre um eixo.
     • Veremos aqui os três tipos de sólidos de revolução

4. RELEMBRANDO

   • 1 L = 1 dm3
   • POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS NA CIRCUNFERÊNCIA

5. INSTRUÇÃO:

   • Se atente aos blocos de notas de cada balão, se tiver
     • Esses blocos de notas podem ser expandidos no canto inferior esquerdo
       • bloco de notas de exemplo

6. EXERCÍCIOS

   • PRISMA
     • 1) Qual o volume de concreto utilizado na construção de uma laje de 80 centímetros de espessura em uma sala com medidas iguais a 4 metros de largura e 6 metros de comprimento?    
     • 2) Um prisma de base quadrangular possui volume igual a 192 cm³. Determine sua altura sabendo que ela corresponde ao triplo da medida da aresta da base.     
     • 3) Uma caixa de papelão será fabricada por uma indústria com as seguintes medidas: 40 cm de comprimento, 20 cm de largura e 15 cm de altura. Essa caixa irá armazenar doces na forma de um prisma com as dimensões medindo 8 cm de comprimento, 4 cm de largura e 3 cm de altura. Qual o número de doces necessários para o preenchimento total da caixa fabricada?    
     • 4) (UFOP–MG) A área total de um cubo cuja diagonal mede 5√3 cm é:  a) 140 cm² b) 150 cm² c) 120√2 cm² d) 100√3 cm² e) 450 cm²  
     • 5) (FEI–SP) As medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo são proporcionais a 2, 3 e 4. Se sua diagonal mede 2√29 cm, seu volume, em centímetros cúbicos, é: a) 24 b) 24√29 c) 116 d) 164 e) 192   
     • 6) (FGV–SP) Em uma piscina retangular com 10 m de comprimento e 5 m de largura, para elevar o nível de água em 10 cm são necessários: a) 500 l de água b) 5 000 l de água c) 10 000 l de água d) 1 000 l de água e) 50 000 l de água   
     • 7) Qual é o volume do prisma da imagem a seguir, sabendo que ele é um prisma reto e sua base é quadrada? a) 5760 cm3  b) 5000 cm3  c) 2500 cm3  d) 1080 cm3   
     • 8) Qual o volume de um prisma reto de base hexagonal, sabendo que a base é um polígono regular cujo lado mede 2 centímetros e cujo apótema mede aproximadamente 1,73 centímetros, e que a altura desse prisma é de 25 centímetros. a) 10,38 cm3 b) 259,5 cm3  c) 129,7 cm3  d) 20,76 cm3  e) 40,86 cm3   
     • 9)(UE-PA/modificada) Uma calha em forma de prisma reto, conforme a figura abaixo, possui 5 m de comprimento e uma secção transversal ABC, na forma de V, tal que AB = AC = 40 cm e BÂC = 60°. Qual o volume que essa calha comporta? (Considere √3 =1,73) a) 300000 cm3  b) 326000 cm3 c) 346000 cm3 d) 400000 cm3 e) 446000 cm3   
     • 10) O volume de uma piscina em forma de prisma de base quadrada é 3125 metros cúbicos. Sabendo que a altura dessa piscina é de 5 metros cúbicos, qual é a medida da aresta de sua base em metros? a) 5 m b) 10 m  c) 15 m d) 20 m e) 25 m   
     • POLIEDRO
       • 1) Um poliedro possui 16 faces e 18 vértices. Qual é o número de arestas desse poliedro?   
       • 2)   (FAAP – SP/ adaptada) Em um poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Qual o número de faces?  a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14   
       • 3)   (Vassouras RJ – IBFC 2015). Um poliedro convexo tem 9 faces e 16 arestas. Desse modo, o total de vértices desse poliedro é: a) 12 b) 9 c) 15 d) 11 e) 10   
       • 4)(UF – PI) Em um poliedro convexo, o número de arestas excede o número de faces em 18. O número de vértices desse poliedro é:  a) 10 b) 20 c) 24 d) 30 e) 32   
       • 5)(Fuvest – SP) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que esta pirâmide possui: a) 33 vértices e 22 arestas. b) 12 vértices e 11 arestas. c) 22 vértices e 11 arestas. d) 11 vértices e 22 arestas. e) 12 vértices e 22 arestas.   
       • 6) (U.F. – RS) Um poliedro convexo tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O número de arestas e de vértices do poliedro é, respectivamente:  a)    34 e 10 b) 19 e 10 c) 34 e 20 d) 12 e 10 e) 19 e 12   
       • 7) Um poliedro convexo com 16 arestas possui o número de faces igual ao número de vértices. Quantas faces têm esse poliedro?  a) 16  b) 14 c) 11 d) 9 e) 7   
       • 8) O número de faces de um poliedro convexo que possui 34 arestas é igual ao número de vértices. Quantas faces possui esse poliedro?  a) 18  b) 20 c) 36 d) 34 e)19   
       •  9) A respeito da definição de poliedros e de sua classificação, assinale a alternativa correta:    a) Os sólidos geométricos que estão dentro do conjunto dos poliedros são prismas, pirâmides e corpos redondos. b) Os poliedros são objetos tridimensionais, por isso, é possível encontrar neles três medidas ortogonais: comprimento, largura e profundidade. c) Poliedros são objetos cujas faces são polígonos; corpos redondos são objetos em que todas as faces são planas. d) Os poliedros são sólidos geométricos espaciais, tridimensionais e formados por faces retangulares. e) Os poliedros são figuras bidimensionais que podem ser definidas em um plano qualquer.   
       • 10) A respeito dos sólidos geométricos que pertencem ao conjunto formado por todos os poliedros, assinale a alternativa correta. a) Os corpos redondos são poliedros. O que garante isso é a presença de duas faces planas no cilindro e uma no cone. b) Um prisma é um tipo de poliedro que possui duas bases poligonais e faces laterais triangulares.  c) Pirâmides são poliedros que possuem uma base poligonal e um vértice da pirâmide oposto a essa base. O número de faces de uma pirâmide sempre é igual ao número de arestas. d) Prismas e pirâmides são poliedros para os quais sempre vale a relação de Euler. e) Pirâmides são poliedros que possuem uma base poligonal e faces laterais triangulares.   
       • CUBO
         • 1)Qual é a área total de um cubo cujas arestas medem 15 centímetros? a) 550 cm2 b) 1350 cm2  c) 1450 cm2  d) 1800 cm2 e) 1850 cm2   
         • 2)Uma caixa de presentes foi revestida com um papel para aprimorar sua decoração. Sabendo que cada centímetro quadrado desse papel custa R$ 0,10, quanto foi pago para revestir essa caixa, sabendo que não é necessário revestir sua tampa e que ela tem formato de cubo de aresta igual a 20 cm? a) R$ 100,00 b) R$ 140,00  c) R$ 200,00 d) R$ 240,00 e) R$ 300,00   
         • 3)Qual a diferença entre as áreas de dois cubos que possuem arestas iguais a 10 e a 25 cm, respectivamente?  a) 3150 cm2 b) 3250 cm2  c) 3350 cm2 d) 3450 cm2  e) 3550 cm2   
         • 4)Para uma obra artística, foi necessário pintar até dois terços da altura de um cubo de vermelho. Determine a área desse cubo que foi pintada de vermelho sabendo que sua aresta mede 3 metros. a) 33 m2 b) 36 m2 c) 39 m2 d) 42 m2 e) 45 m2   
         • 5)(Ufop) A área total de um cubo cuja diagonal mede 5√3 cm é: a)140 cm² b)150 cm² c)120√2 cm² d)100√3 cm² e) 450 cm²   
         • 6)(SEDUC RJ – COPERJ 2013). A figura abaixo representa uma caixa cúbica onde a distância do ponto A até o ponto B mede 3√5 decímetros: Os pontos A e B são, respectivamente, o centro de uma face e o ponto médio de uma aresta da face oposta. O volume dessa caixa, em dm³ , é igual a: a) 125b) 216c) 343d) 512e) 729
         • 7) Sabendo que a diagonal da base de um cubo mede 25√2 m, qual é a área desse cubo?  a) 3750 m2 b) 625 m2 c) 25 m2 d) 3000 m2 e) 4000 m2   
         • 8)A aresta de um cubo mede 2x + 5 cm. Sabendo que a área desse cubo é igual a 486 cm2, qual é a medida de sua aresta em centímetros?  a) 2 cm b) 4 cm c) 5 cm  d) 9 cm  e) 81 cm   
         • 9) Sabendo que a área de um cubo é igual a 1536 cm, qual é a área da base desse cubo? a) 16 cm2 b) 32 cm2 c) 6 cm2  d) 34 cm2 e)256 cm2   
         • 10) (PM ES – Exatus 2013). Determinado cubo possui volume de 729 cm³. Cada face desse cubo possui área de: a) 3 cm2. b) 9 cm2.  c) 27 cm2. d) 54 cm2. e) 81 cm2.   
         • PARALELEPÍPEDO
           • 1)(TJ SP – Vunesp 2014). Considere um reservatório com o formato de um paralelepípedo reto retângulo, com 2 m de comprimento e 1,5 m de largura, inicialmente vazio. A válvula de entrada de água no reservatório foi aberta por certo período, e, assim, a altura do nível da água no reservatório atingiu 50 cm, preenchendo 40% da sua capacidade total. Desse modo, é correto afirmar que a medida da altura desse reservatório, em metros, é igual a  (A) 1,35.   (B) 1,25. (C) 1,50.  (D) 1,75.  (E) 1,65.   
           • 2)(TJ SP – Vunesp 2014). Considere um reservatório com o formato de um paralelepípedo reto retângulo, com 2 m de comprimento e 1,5 m de largura, inicialmente vazio. A válvula de entrada de água no reservatório foi aberta por certo período, e, assim, a altura do nível da água no reservatório atingiu 50 cm, preenchendo 40% da sua capacidade total. Desse modo, é correto afirmar que a medida da altura desse reservatório, em metros, é igual a (A) 1,35.  (B) 1,25.  (C) 1,50.  (D) 1,75.  (E) 1,65.   
           • 3) (Penitenciário PR – Cops 2013). Leia a manchete a seguir:  “Sete homens presos em cela de 2 metros quadrados…” Suponha que essa cela seja proporcional a um paralelepípedo reto de altura 2, 5 cm, cuja base é um retângulo de 1 cm de largura por 2 cm de comprimento, conforme figura a seguir.     Supondo que cada preso tenha em média 1, 70 m de altura, 75 kg e aproximadamente 50 cm de ombro e que na cela não haja móveis e objetos, considere as afirmativas a seguir. I. 1, 70 m está para 1, 7 cm, assim como 2 m está para 2 cm, assim como 1 m está para 1 cm. II. É possível que todos os homens, ao mesmo tempo, fiquem deitados na horizontal com ventre e rosto voltados para cima, totalmente dentro da cela, um ao lado do outro. III. Se uma cela qualquer, em formato retangular, possui 2 m² de área, então, as únicas possibilidades de perímetros para os lados do retângulo são 1 m e 2 m. IV. O perímetro dessa cela é de 6 m.  Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e II são corretas. b) Somente as afirmativas I e IV são corretas. c) Somente as afirmativas III e IV são corretas. d) Somente as afirmativas I, II e III são corretas. e) Somente as afirmativas II, III e IV são corretas.   
           • 4) (PM ES – Exatus 2013). A largura, a altura e o comprimento de um paralelepípedo reto retângulo formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão 3. Sabe-se que o volume desse paralelepípedo é igual a 5,832 litros. A altura desse paralelepípedo mede: a) 1,3 m b) 1 m  c) 0,10 m d) 0,16 m  e) 0,18 m   
           • 5)(PM ES – Funcab 2013). Polícia Militar apreende mais de 3 kg de pasta base de cocaína em Linhares Em uma mochila foram apreendidos 84 tabletes plastificados de cocaína e um tablete grande medindo 20 x 10 cm da mesma substância, totalizando cerca de 3 quilos de cocaína, e R$ 91,00 em espécie. Caso o tablete grande mencionado tenha o formato de um paralelepípedo reto retângulo com 6 cm de altura, o valor do volume total de cocaína desse tablete, em cm³, será de:  A) 400 B) 600  C) 800 D) 1.000  E) 1.200   
           • 6) (Sejus ES 2013). A quantidade de certo líquido, correspondente a 3/4 de um litro, será colocado em um recipiente de modo que ele fique completamente cheio. Para isso foram selecionados 3 recipientes com formas geométricas e medidas internas descritas a seguir: I. Um paralelepípedo reto retângulo de dimensões: comprimento 15 cm, largura 2,5 cm e altura 20 cm. II. Um cilindro reto de raio da base 5 cm e altura 10 cm. (use π = 3)  III. Um cubo de aresta igual a 5 cm.  Dos 3 recipientes oferecidos, atende ao que foi proposto (A) I e II, apenas. (B) I, II e III.  (C) I, apenas.  (D) I e III, apenas. (E) II e III, apenas.   
           • 7) (Correios 2011). Nos Correios, são utilizados vários tipos de caixas para o envio de encomendas, entre elas, a caixa do tipo 4B, um paralelepípedo retângulo, em papel ondulado, com arestas medindo 360 mm, 270 mm e 180 mm. O volume dessa caixa, em dm³, é: A. superior a 18 e inferior a 21. B. superior a 21 e inferior a 24. C. superior a 24. D. inferior a 15. E. superior a 15 e inferior a 18.     
           • 8)  (PM ES – AOCP). Sobre uma mesa, estão dois recipientes: o primeiro tem um formato de um cubo, tal que cada aresta desse cubo mede x cm; o segundo tem o formato de um paralelepípedo reto, cujas dimensões são 5 cm, 25 cm e 125 cm. Sabendo que os dois recipientes possuem o mesmo volume, então a medida da aresta x do cubo é igual a (A) 5 cm.  (B) 12 cm.  (C) 25 cm. (D) 50 cm. (E) 125 cm.   
           • 9)  Considere uma caixa de água com formato de um paralelepípedo reto retângulo totalmente cheia, com comprimento de 7 m e largura de 4 m e altura de 2 m. Calcule: a) A área da baseb) A área lateralc) A área total d) O volume de água da caixa  
           • 10) Uma fábrica produz tijolos no formato de paralelepípedos e de cubos, com volume igual. Sabendo que os tijolos no formato de paralelepípedo têm 5 cm de largura, 20 cm de comprimento e 2 cm de altura. A medida dos lados dos tijolos que têm o formato de cubo é igual a: a) 4,64 cm b) 7,1 cm c) 10 cm d) 20,4 cm e) 35 cm   
           • PIRÂMIDE
             • 1) (SISPREM RS FUNDATEC 2015). Um enfeite em formato de pirâmide regular e de base quadrada tem o lado da base medindo 10 cm e a altura de 30 cm. Qual é o volume em cm³ dessa pirâmide? a) 300. b) 690.  c) 830. d)950.  e) 1.000.   
             • 2)(IBGE – FGV 2016). Uma pirâmide regular é construída com um quadrado de 6 m de lado e quatro triângulos iguais ao da figura ao lado.  O volume dessa pirâmide em m³ é aproximadamente: (A) 84; (B) 90;  (C) 96; (D) 108. (E) 144.   
             • 3) (Prefeitura de Cajamar – Moura Melo 2016). Qual o volume de uma pirâmide regular hexagonal com 50 cm de altura e 20 cm de aresta da base? a) 10.000 √3 cm³. b) 3.000 √3 cm³.  c) 1.000 √3 cm³.  d) 2.400 √3 cm³.
             • 4) (Pucsp) A base de uma pirâmide reta é um quadrado cujo lado mede 8√2cm. Se as arestas laterais da pirâmide medem 17cm, o seu volume, em centímetros cúbicos, é: a)520.  b) 640.  c) 680. d) 750.   
             • 5) A soma dos ângulos de todas as faces de uma pirâmide é 18πrd. Então o número de lados do polígono da base da pirâmide é: a) 8  b) 9 c) 10  d) 11  e) 12   
             • 6) Seja uma pirâmide triangular com lado da base medindo 20 cm e altura de 40 cm. Calcule a área da pirâmide.   
             • 7) Considerando a pirâmide da sexta questão, calcule o volume dessa pirâmide.   
             • 8) Determine o volume de uma pirâmide quadrangular com altura de 20 cm e aresta da base medindo 7 cm.     
             • 9) Considere uma pirâmide triangular. Sabe-se que a altura da pirâmide é de 5m e a aresta lateral mede 9m. Calcule a medida do centro da base até um vértice da base.  
             • 10) Uma pirâmide de base quadrada tem 18m de altura e 20m de apótema lateral. Calcule a área da base e o volume da pirâmide.
             • CILINDRO
               • 1)  Um reservatório em formato cilíndrico possui raio igual a 2 metros e sua altura é de 10 metros, como mostra a imagem a seguir. Qual é o volume desse reservatório? (considere π = 3,14). FIGURA AO LADO    a) 125,6 m3  b) 115,6 m3 c) 100,6 m3  d) 75,6 m3 e) 15,6 m3   
               • 2)  Um cilindro possui volume igual a 7850 cm3 e seu diâmetro mede 10 centímetros. Qual é a medida da altura desse cilindro? (Considere π = 3,14).  a) 50 cm b) 100 cm c) 120 cm  d) 150 cm e) 200 cm   
               • 3)  (Enem) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 20 m x 10 cm (conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina. (FIGURA AO LADO)    Supondo que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume da parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será: a) o triplo. b) o dobro. c) igual.  d) a metade.  e) a terça parte.   
               • 4)  Qual é o volume de um cilindro cuja altura é igual ao dobro de seu raio. a) πr3 b) 2r3  c) 2πr  d) 2π  e) 2πr3   
               • 5)  Um cilindro equilátero tem altura de 10 cm. Calcule: a) a área lateral  b) a área total   
               • 6)(Liquigás– Cesgranrio 2012). Um cilindro circular reto possui altura igual ao raio de sua base. Se a razão entre o volume do cilindro, dado em metros cúbicos, e a sua área total, dada em metros quadrados, é igual a 2 metros, então a área lateral do cilindro, em m² , é igual a  a) 128π b) 64π  c) 48π  d) 32π  e) 16π   
               • 7) (Petrobras – Cesgranrio 2012). Uma fita retangular de 2 cm de largura foi colocada em torno de uma pequena lata cilíndrica de 12 cm de altura e 192π cm³ de volume, dando uma volta completa em torno da lata, como ilustra a (FIGURA AO LADO)  A área da região da superfície da lata ocupada pela fita é, em cm² , igual a a) 8π b) 12π c) 16π d) 24π  e) 32π   
               • 8)Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2 cm e altura 3 cm. Calcular a área lateral, área total e o seu volume.
               • 9) (Cefet – SP) A figura indica o tambor cilíndrico de um aquecedor solar com capacidade de 1 570 litros.(FIGURA AO LADO)  Sabendo que 1 000 litros de água ocupam um volume de 1 m³ e adotado π = 3,14, determine a medida do raio r do cilindro.   
               • 10) Uma indústria deseja fabricar um barril de óleo com formato cilíndrico cujo raio da base deve apresentar 40 cm de comprimento e sua altura será de 1,2 m. Para fabricação desse barril, a indústria utilizará chapas metálicas. Quantos metros quadrados de chapa serão necessários para fabricar um barril? (Use π = 3,14)   
               • CONE
                 • 1) (PM ES – Exatus 2013). O volume do sólido gerado pela rotação de um triângulo isósceles de lados congruentes medindo 5 cm e base medindo 6 cm, em torno da base é igual a: a) 32π cm³  b) 13π cm³  c) 14π cm³  d) 15π cm³  e) 16π cm³   
                 • 2)  (PM ES – Exatus 2013). Dados um cilindro circular reto e um cone circular reto de mesma altura e mesmo raio, é correto afirmar que o volume do cone é igual a: a) três vezes o volume do cilindro  b) duas vezes o volume do cilindro  c) metade do volume do cilindro d) terça parte do volume do cilindro  e) sexta parte do volume do cilindro     
                 • 3) (SEDUC RJ – COPERJ 2011). A figura abaixo mostra um cilindro reto inscrito em um cone: a base inferior do cilindro está sobre a base do cone, e a circunferência da base superior do cilindro está sobre a superfície lateral do cone.  "FIGURA AO LADO"   Sabe-se que a altura do cilindro é a metade da altura do cone e que o volume do cilindro é de 150 cm³ . O volume do cone é: a) 400 cm³ b) 360 cm³ c) 300 cm³ d) 240 cm³  e) 200 cm³   
                 • 4) (PRF 2008). Considere que um cilindro circular reto seja inscrito em um cone circular reto de raio da base igual a 10 centímetros e a altura igual a 25 centímetros, de forma que a base do cilindro esteja no mesmo plano da base do cone. Em face dessas informações e, considerando, ainda, que h e r correspondam à altura e ao   raio da base do cilindro, respectivamente, assinale a opção correta.  a) A função afim que descreve h como função de r é crescente.  b) O volume do cilindro como uma função de r é uma função quadrática. c) Se A(r) é a área lateral do cilindro em função de r, então A(r) = 50.π.r (1 –r/10)  d) É possível encontrar um cilindro de raio da base igual a 2 centímetros e altura igual a 19 centímetros que esteja inscrito no referido cone. e) O cilindro de maior área lateral que pode ser inscrito no referido cone tem raio da base superior a 6 centímetros.     
                 • 5) Calcule o volume de um cone circular reto cujo raio da base mede 3 m e geratriz 5 m  Questão 6: Calcule o tronco do cone cujo raio da base maior mede 20 cm, o raio da base menor mede 10 cm e a altura é de 12 cm.   
                 • 6)  Calcule o tronco do cone cujo raio da base maior mede 20 cm, o raio da base menor mede 10 cm e a altura é de 12 cm.   
                 • 7)(Cefet- SC) Dado um copo em forma de cilindro e outro de forma cônica de mesma base e altura. Se eu encher completamente o copo cônico com água e derramar toda essa   água no copo cilíndrico, quantas vezes terei que fazê-lo para encher completamente esse copo? a) Apenas uma vez. b) Duas vezes. c) Três vezes. d) Uma vez e meia. e) É impossível saber, pois não se sabe o volume de cada sólido
                 • 8) Qual a área lateral e a área total de um cone circular reto que possui altura de 8 cm e o raio da base de 6 cm?   
                 • 9) Encontre a área total do tronco do cone que apresenta altura de 4 cm, a base maior um círculo de diâmetro de 12 cm e a base menor um círculo de diâmetro de 8 cm.
                 • 10) Uma fábrica de doces e balas irá produzir chocolates na forma de guarda-chuva, com as seguintes medidas: 8 cm de altura e 3 cm de raio de acordo com a ilustração. Qual a quantidade de chocolate utilizada na produção de 2000 peças?
                 • ESFERA
                   • 1) (CEMIG – Fumarc 2010). O volume de uma esfera de raio r é (4/3).π.r³. Se um balão esférico é inflado até que o seu raio seja quadruplicado, então o seu volume é aumentado pelo fator: a) 1024  b) 256 c) 64 d) 164   
                   • 2)(TRE PI – FCC 2009). Uma pessoa fez quatro cortes paralelos igualmente espaçados em uma laranja esférica, dividindo-a nas cinco partes indicadas na figura.   Em relação a essa divisão, é correto afirmar que a) todas as partes obtidas têm o mesmo volume. b) a parte III é a de maior volume. c) o volume da parte I é maior do que o volume da parte II. d) não foram obtidas duas partes com o mesmo volume. e) a soma dos volumes das partes IV e V é menor do que a soma dos volumes das partes I e II.   
                   • 3) (Prefeitura de Palma Sola SC – AMEOSC 2016). Pretende-se encher uma bexiga até que ela atinja 20 cm de diâmetro. Considere que essa bexiga é esférica. Quantos litros de água serão necessários? a) 4,2 litros. b) 3,8 litros. c) 3,1 litros.  d) 2,5 litros.   
                   • 4) (SEE AC – Funcab 2013). O único sólido geométrico que NÃO pode ser planificado é o(a): a) paralelepípedo b) pirâmide  c) esfera  d) cilindro  e) cone   
                   • 5) (SEE AC – Funcab 2010). No ensino de geometria, nas séries iniciais, tem sua importância social o reconhecimento do universo tridimensional. Pensando nisso, uma professora levou para uma de suas aulas os objetos abaixo: I. Uma caixa de sapato (paralelepípedo). II. Uma lata de leite em pó (cilindro).  III. Uma bola de futebol (esfera).  Os sólidos acima são, respectivamente:a) poliedro, sólido de revolução e poliedro. b) sólido de revolução, poliedro e poliedro. c) sólido de revolução, sólido de revolução e poliedro. d) poliedro, sólido de revolução e sólido de revolução. e) sólido de revolução, sólido de revolução e sólido de revolução.   
                   • 6) (Bombeiros MG – IGETEC 2008). O hexaedro regular que inscreve a esfera de volume 9π/2 cm³, tem a medida da diagonal, em centímetros, igual a: a) 2,7  b) √3  c) 3√3 d) 3   
                   • 7) Qual é a área de uma esfera cujo raio mede 63 cm? Considere π = 3. a) 47628 cm2 b) 48628 cm2  c) 49628 cm2 d) 50000 cm2  e) 51628 cm2   
                   • 8) Uma esfera possui área igual a 1728 cm2. Considerando π = 3, qual é a medida de seu raio?  a) 35831808 cm b) 12 cm c) 144 cm  d) 15 cm  e) 10 cm   
                   • 9) Um artesão confecciona esferas de madeira para sua próxima criação. Ele terá que pintar três dessas esferas de branco e duas de vermelho para seu trabalho. Em suas pesquisas, conseguiu encontrar um artesão que vende tintas por centímetro quadrado, o que he sairá muito mais em conta. O metro centímetro quadrado da tinta branca custa R$ 0,09 e da tinta vermelha custa R$ 0,02. Sabendo que o raio da esfera vermelha é de 4 centímetros e que o raio da esfera branca é de 9 centímetros, quanto esse artesão gastará com tinta? (Considere π = 3).  a) R$ 91,32  b) R$ 262,44  c) R$ 270,12  d) R$ 7,68 e) R$ R$ 0,31   
                   • 10) Uma esfera possui raio igual a 30 centímetros. Qual a diferença entre sua área e a área de um fuso esférico dessa mesma esfera com ângulo igual a 90°? (considere π = 3)  a) 10800 cm2 b) 2700 cm2 c) 13500 cm2 d) 8100 cm2  e) 4050 cm2   
                   • ANEXO EXERCÍCIO 2
                 • ANEXO EXERCÍCIO 3
               • ANEXO EXERCÍCIO 1
               • EXERCÍCIO 7
               • EXERCÍCIO 9
               • EXERCÍCIO 3
             • ANEXO EXERCÍCIO 2
           • ANEXO EXERCÍCIO 3
     • ANEXO EXERCÍCIO 7
     • ANEXO EXERCÍCIO 9
   • RESOLUÇÃO PRISMA
     • 1)
     • 2)
     • 3)
     • 4)
     • 5)
     • 6)
     • 7)
     • 8)
     • 9)
     • 10)
   • RESOLUÇÃO POLIEDRO
     • 1) Utilizando V + F = A + 2, temos: 18 + 16 = A + 2 34 = A + 2 A = 32   
     • 2) De acordo com o enunciado sabemos que  A = V + 6.V + F = A + 2 V + F – A = 2 V –(V + 6) + F = 2 V – V - 6 + F = 2 F = 2 + 6 F = 8 Letra b  
     • 3)  Inserindo todas as informações cedidas pelo enunciado no Teorema de Euler:  V + F = A + 2 V + 9 = 16 + 2 V = 18 – 9 V = 9 Letra b   
     • 4) Através do enunciado recebemos a informação de que F + 18 é igual ao número de arestas, ou seja, o número de arestas é igual ao número de faces mais 18 unidades.  A = F + 18 Após desenvolvermos essa igualdade, devemos substituí-la dentro da Relação de Euler e descobrir o valor que a questão pede, ou seja, o número de vértices. V + F = A + 2 V + F – A = 2 V + F –(F + 18) = 2 V + F – F -18 = 2 V = 2 + 18 V = 20  O valor de vértices é 20, logo letra b.   
     • 5) Como foi informado que temos 11 faces nessa pirâmide, concluindo que existe mais uma face que compõe a base   chegamos a um valor de 12 faces no total. Sendo 12 faces triangulares, logo teremos também 12 vértices. Nesse primeiro momento podemos eliminar as alternativas a, c e d, uma vez que sabemos que o número de vértices é 12 e apenas as opções b e e apresentam essa informação. Sabendo que essa pirâmide possui 12 faces e 12 vértices devemos inserir essas informações na relação de Euler e descobrir o número de arestas e resolver a questão. V + F = A + 2 12 + 12 = A + 2 24 = A + 2 A = 24 – 2 A = 22 Se possuímos 12 vértices e 22 arestas, logo concluímos que a resposta da questão é a letra e.  
     • 6) Em um primeiro momento, precisamos compreender polígonos convexos compartilham arestas. A partir disso, o número de faces triangulares t e o número de faces quadrangulares q será igual a duas vezes o valor da aresta.  2A = 3t + 4q 2A = 3 * 6 + 4 * 5 2A = 18 + 20 2A = 38 A = 19 Conhecendo o número de arestas e faces poderemos descobrir o número de vértices aplicando a relação de Euler. V + F = A + 2 V + 11 = 19 + 2 V = 21 – 11 V = 10  Tendo 19 arestas e 10 vértices, chegamos à resposta letra b.   
     • 7) Sabendo que F = V, podemos substituir V na relação de Euler para obter:  V – A + F = 2  F – A + F = 2  2F – A = 2  Agora, basta substituir o número de arestas e resolver a equação resultante para encontrar o número de faces.  2F – 16 = 2  2F = 2 + 16  2F = 18 F = 18       2 F = 9 O poliedro possui 9 faces. Gabarito: letra D.  
     • 8) Observe que F = V. Substituindo V na relação de Euler, teremos: V – A + F = 2  F – A + F = 2 2F – A = 2 Agora basta substituir o número de arestas e descobrir o número de faces: 2F – 34 = 2  2F = 2 + 34  2F = 36 F = 36       2 F = 18 O poliedro possui 18 faces.Gabarito: letra A.  
     • 9)  a) Incorreta. Os sólidos geométricos que estão dentro do conjunto dos poliedros são prismas, pirâmides e outros sólidos cujas faces também são polígonos, mas que não são nem prismas nem pirâmides. Os corpos redondos, portanto, não são poliedros. b) Correta. c) Incorreta. Os poliedros realmente são sólidos cujas faces são polígonos, mas os corpos redondos não são objetos cujas faces são todas planas. d) Incorreta. Nem todo poliedro é formado por faces retangulares. e) Incorreta. Sólidos geométricos obrigatoriamente são definidos em três dimensões. Gabarito: letra B.   
     • 10)  a) Incorreta. Corpos redondos não são poliedros. b) Incorreta. Os prismas possuem duas bases poligonais, mas suas faces laterais são quadriláteros.  c)Incorreta. Pirâmides são poliedros com uma base poligonal e um vértice oposto a ela, mas o número de faces não é igual ao número de arestas. d)Incorreta. A relação de Euler só vale para prismas e pirâmides convexos. e) Correta. Gabarito: letra E. 
   • RESOLUÇÃO CUBO
     • 1)  A fórmula que pode ser usada para calcular a área total do cubo é: A = 6l2 Substituindo a aresta do cubo nessa fórmula, temos: A = 6·152 A = 6·225 A = 1350 cm2  Alternativa B   
     • 2) Primeiramente, devemos calcular a área da caixa. Como não é preciso revestir sua tampa, sua área será dada por:  A = 5l2 Substituindo a aresta, temos:  A = 5·202 A = 5·400 A = 2000 cm2 Sabendo que cada centímetro quadrado custa R$ 0,10, basta fazer:  2000·0,10 = 200  Foram gastos R$ 200,00 para revestir a caixa com papel de presente.  Alternativa C   
     • 3)  Usando a fórmula para calcular a área do cubo, calcularemos a área de cada um deles separadamente. Em seguida, faremos a subtração entre os resultados obtidos:  A1 = 6l2 A1 = 6·102 A1 = 6·100 A1 = 600 cm2  A2 = 6l2 A2 = 6·252 A2 = 6·625 A2 = 3750 cm2  A2 – A1 = 3750 – 600 = 3150 cm2 Alternativa A   
     • 4) Para resolver esse problema, perceba que as áreas solicitadas são: a área da base e dois terços da área de cada face lateral. Nos termos apresentados, a área superior do cubo não será pintada. Assim temos: (FIGURA 4) A soma dasduas áreas é: 9 + 24 = 33 m2Alternativa A  
     • 5) A diagonal do cubo cuja aresta mede “a” pode ser encontrada pelo teorema de Pitágoras. Quando isso é feito, a diagonal “d” desse cubo é: d = a·√3  Sabendo que a diagonal desse cubo mede 5·√3, teremos:  d = a·√3  5·√3 = a·√3  a·√3 = 5·√3 a = 5·√3       √3  a = 5  Como sabemos que a medida da aresta desse cubo é 5, sua área é dada pela seguinte expressão:  A = 6·a2  A = 6·a2  A = 6·52 A = 6·25 A = 150 cm2 Gabarito: alternativa B.     
     • 6)Precisamos calcular o volume do cubo representado na figura. Nosso primeiro objetivo é calcular a medida da aresta desse cubo, que representaremos inicialmente por x. Vamos analisar o triângulo retângulo formado pela semi reta AB e pelas semi retas que dividem as faces ao meio. Veja a figura: Pelo Teorema de Pitágoras temos: (3√5)² = x² + (x/2)² 45 = x² + x²/4 45 = 5x²/4 5x² = 4.45 5x² = 180 x² = 180/5 x² = 36 x = 6 dm Calculando o volume do cubo: V = x³ V = 6³ V = 216 dm³ Resposta: B
     • 7) A diagonal da base de um cubo é a hipotenusa do triângulo cujos catetos são iguais, que são arestas desse cubo. Logo, se encontrarmos a medida dessas arestas pelo teorema de Pitágoras, poderemos calcular a área do cubo. Como os catetos são iguais, por meio do teorema de Pitágoras, teremos:  (25√2)2 = x2 + x2  (25)2(√2)2 = 2x2  625·2 = 2x2  625·2 = x2 2         625 = x2 √x2 = √625 x = 25 Sabendo que a aresta do cubo é 25, calcularemos a área a partir da expressão a seguir:  A = 6·a2 A = 6·252  A = 6·625  A = 3750 m2 Gabarito: letra A.   
     • 8) A expressão que determina a área de um cubo é a seguinte:  A = 6·a2  Substituindo os valores fornecidos no exercício, teremos:  486 = 6·(2x + 5)2  486 = (2x + 5)2 6                  81 = (2x + 5)2  √81 = √(2x + 5)2 9 = 2x + 5  – 2x = 5 – 9  – 2x = – 4  2x = 4  x = 2  Para encontrar a aresta, ainda falta substituir x na expressão dada no início: 2x + 5 =  2·2 + 4 = 9 cm  Gabarito: alternativa D.   
     • 9)  A base de um cubo é um quadrado. Seu lado é igual à aresta do cubo. Logo, podemos calcular a área desse quadrado se descobrirmos primeiro a medida da aresta do cubo. Para tanto, usaremos a expressão a seguir:  A = 6·a2 1536 = 6·a2   1536 = a2 6        256 = a2 √a2 = √256 a = 16 cm  Agora basta calcular a área do quadrado, que possui lado igual a 16 cm. Essa área é determinada pela seguinte expressão:  A = l2 A = 162  A = 256 cm2 Gabarito: letra E.
     • 10) O objetivo da questão é descobrir a área de cada face do cubo. Para tanto, precisamos descobrir a medida de cada aresta (a). A única informação que temos é que o volume do cubo é de 729 cm³. Utilizando a fórmula do volume: V = a³  729 = a³  a = 9 cm  Calculando a área de cada face, sabendo que as faces têm o formato de um quadrado e que cada aresta do cubo mede 9 cm: A = a² A = 9² A = 81 cm²  Resposta: E   
     • 6
     • 4
   • RESOLUÇÃO PARALELEPÍPEDO
     • 1)Como trata-se de um reservatório no formato de um paralelepípedo reto retângulo, a capacidade é diretamente proporcional a altura deste, tornando nesta questão, as informações sobre comprimento e largura irrelevantes. Considerando a altura igual a h temos: 40% de h = 50 cm  0,4.h = 50 h = 50/0,4  h = 125 cm ou 1,25 m    Resposta: B   
     • 2)   Veja que precisamos dividir 48, 18 e 12 pelo mesmo número, e na maior quantidade possível. Devemos então calcular o MDC de 48, 18 e 12, que é 6. Logo: O lado que mede 48cm será dividido em 48/6 = 8 O lado que mede 18cm será dividido em 18/6 = 3 O lado que mede 12cm será dividido em 12/6 = 2 Total de cubos: 8x3x2 = 48    Resposta: D   
     • 3) Como a cela tem 2 m² e é proporcional ao paralelepípedo, para que possamos achar suas medidas, podemos multiplicar todas as medidas do mesmo por 100. Suas medidas serão: altura: 2,5 meros largura: 1 metro  comprimento: 2 metros (I) Certo, repare que na nossa relação, 1 metro na cela equivale a 1 cm no paralelepípedo. (II) Errado, o chão da cela é 2 x 1 metros (III) Errado, existem infinitas possibilidades para celas de 2m² cuja soma dos lados sejam diferentes.  (IV) Certo, 2 + 2 + 1 + 1 = 6   Resposta: B   
     • 4) Se em 1 metro cúbico temos 1000 litros, para termos 5,832 litros precisamos ter 0,005832 metros cúbicos. Sabemos que o volume do paralelepípedo é dado pela fórmula:  V = largura x altura x comprimento.Como os lados formam uma PG de razão 3, temos:Largura = x/3Altura = xComprimento = 3xAssim,x/3 . x . 3x = 0,005832 x³ = 0,005832x = 0,18 m  Resposta: E  
     • 5)  O tablete possui 20 cm de comprimento, 10 cm de largura e 6 cm de altura.  Volume = 20 x 10 x 6 = 1200 cm³     Resposta: E   
     • 6) Temos que 1 litro pode ser colocado em um recipiente de 1000cm³ Então temos que descobrir se em algum dos 3 casos o volume é ¾ disso, ou seja, se o volume é 750cm³ I) Volume do paralelepípedo = comprimento x largura x altura = 15 x 2,5 x 20 = 750cm³ II) Volume do cilindro = área da base x altura =  π.5².10 = 3.25.10 = 750cm³  III) Volume do cubo = lado³ = 5³ = 125cm³     Resposta: A   
     • 7)  Veja em nossa sessão unidades e medidas que:  1 m = 10 dm (decímetros) 1 m = 1.000 mm (milímetros)   Primeiramente, vamos transformar as medidas das arestas para dm:  360 mm = 3,6 dm, 270 mm = 2,7 dm e 180 mm = 1,8 dm   Para calcular o volume de um paralelepípedo retângulo, basta multiplicarmos base x comprimento x altura. Temos: Volume = 3,6 x 2,7 x 1,8 = 17,496dm³  Resposta: E   
     • 8) Volume do recipiente em formato de cubo: V = x³ Volume do recipiente em formato de paralelepípedo reto: V = 5.25.125 = 15625 Como os recipientes possuem o mesmo volume:  x³ = 15625  x = 25 Resposta: C  
     • 9) a) A área da base desta caixa é calculada pela fórmula do retângulo, pois a base da caixa é retangular: Ab = comprimento x largura Ab = 7 x 4 = 28 m² b) A área da lateral de um paralelepípedo é calculada pela fórmula: Al = 2((comprimento x altura) + (largura x altura)) = 2((7 x 2) + (4 x 2)) = 2(14 + 8) = 2 . 22 = 44 m² c) A área total do paralelepípedo é: At = 2((comprimento x largura) + (comprimento x altura) + (largura x altura)) = 2((7 x 4) + (7 x 2) + (4 x 2)) = 2(28 + 14 + 8) = 2 . 50 = 100 m² d) O volume de um paralelepípedo é: V = (comprimento x largura x altura) = 7 x 4 x 2 = 56 m³   
     • 10)  O volume do paralelepípedo é: Volume paralelepípedo = 50 x 5 x 2= 100 cm³ Como a questão diz que o paralelepípedo e o cubo possui volume igual, então: Volume paralelepípedo = Volume cubo  Considerando a como a medida da aresta do cubo, então: Volume cubo = a³ (FIGURA 10)    Logo, as arestas dos tijolos com formato de cubo possui um tamanho aproximado de 4,64 cm.  
     • 10
   • RESOLUÇÃO PIRÂMIDE
     • 1) (ANEXO 1)Antes de calcularmos o volume da pirâmide, vamos calcular a área da base (quadrado): Ab = 10² = 100 cm² Calculando o volume da pirâmide: (ANEXO 1.5)                  Resposta: E  
     • 2) Veja que teremos uma pirâmide onde a base é um quadrado de lado 6, e as outras 4 faces são iguais ao triângulo apresentado na figura. Para calcularmos o volume, precisamos da área da base (6.6 = 36) e a altura da pirâmide. (ANEXO 2)      Veja na figura que nosso objetivo então será descobrir o valor de x (altura). Para tanto, precisamos saber os valores de y e z. y é a metade do lado do quadrado, logo y=3.  z pode ser calculado utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo: 10² = z² + 3² 100 = z² + 9  z² = 91 z = √91  Calculando a altura x:  z² = x² + y²  (√91)² = x² + 3²  91 = x² + 9  x² = 82  x = √82 ≅ 9  Calculando o volume da pirâmide: V = área da base x altura x 1/3 V ≅ 36.9/3 V ≅ 108 m³   Resposta: D   
     • 3) O volume de uma pirâmide pode ser calculado através da fórmula matemática abaixo:  V=  At x h x 1/3 Onde: Ab = área da base  h = altura  (Anexo 3)  Nosso primeiro objetivo será calcular a área da base da pirâmide. Conforme informa a questão, trata-se de um hexágono regular.  Utilizando a fórmula matemática que calcula a área de um hexágono regular:(ANEXO 3.5)       Onde: a = lado do hexágono regular (ANEXO 3.2.5) Agora que calculamos a área da base, vamos calcular o volume da pirâmide: (ANEXO 3.3.5)    Resposta: A   
     • 4) Sabendo a aresta (17cm) e o lado do quadrado (8√2cm) podemos descobrir a altura da pirâmide através da aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo descriminado no (ANEXO 4) Se o lado do quadrado mede 8√2cm, sua área é igual a B = l² = (8√2)² = 64.2 ⇒ B = 128 e sua diagonal medirá d = l√2 = 8√2.√2 = 8.2 ⇒ d = 16. Assim, a metade dela valerá 8cm. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo da figura 4, temos que: h² + (d/2)² = a² ⇒ h² + 8² = 17² ⇒ h² = 289 – 64 ⇒ h² = 225 ⇒ h = √225 ⇒ h = 15cm. Portanto, o volume dessa pirâmide será igual a: V = Bh/3 ⇒ V = 128.15/3 ⇒ V = 128.5 ⇒ V = 640cm³.   
     • 5) Sabemos que a pirâmide possui n faces triangulares mais a face da base. A soma dos ângulos das faces triangulares é dada por 180n, ou πnrd. A soma dos ângulos da base será dada por 180.(n – 2), ou π(n – 2)rd. Logo: πn + π(n – 2) = 18π ⇒ πn + πn – 2π = 18π ⇒ 2πn – 2π = 18π ⇒ 2n – 2 = 18 ⇒ n – 1 = 9 ⇒ n = 10. Como o número de lados do polígono da base é n, esse polígono é um decágono. Resposta: C  
     • 6) Considerando que os lados da base da pirâmide possem as mesmas medidas, então temos um triângulo equilátero. A área de um triângulo equilátero é calculada pela fórmula: Ab = (l²√3)/4 = (20² x √3)/4 = (400 x √3)/4 = 692,82/4 = 173,205 cm² Agora que temos a área da base, podemos calcular a área total da pirâmide. Utilizando a fórmula da área da pirâmide, temos: A = Ab . h = 173,205 x 40 = 6928,2 cm²   
     • 7) O volume da pirâmide é calculado pela fórmula: V = 1⁄3 . Ab . h Logo: V = 1⁄3 x 173,205 x 40 = 6928,2/3 =2309,4 cm³     
     • 8) O volume de uma pirâmide é calculado pela seguinte fórmula: V = Ab . h Então, como temos uma pirâmide com base quadrangular , a área da base é calculada pela fórmula da área do quadrado.  Logo: Ab = L² = 7² = 49 cm² Volume = Ab . h = 49 x 20 = 980 cm³   
     • 9)Como vimos no post sobre pirâmides, a altura, aresta lateral e a medida do centro da base até um vértice qualquer da base formam um triângulo retângulo. Dessa forma, tendo dois lados desse triângulo retângulo podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular o terceiro lado. (ANEXO 9)
     • 10) (ANEXO 10)  Com essas informações vamos utilizar o Teorema de Pitágoras e calcular o apótema da base. Sabendo que o apótema da base é a metade do lado da base , então calculamos a medida do lado da base (aresta da base). Por último, calculamos a área da base. A área do quadrado é igual ao quadrado do lado da base. ANEXO (10.5) O volume da pirâmide ficou fácil de calcular porque já temos todos os dados necessários da base e da altura. ANEXO (10.2.5)
     • 1
       • 2
         • 3
           • 4
             • 10
               • 10.5
                 • 10.2.5
             • 9
           • 3.5
             • 3.2.5
               • 3.3.5
       • 1.5
   • RESOLUÇÃO CILINDRO
     • 1) O volume do cilindro é dado pela área da base multiplicada por sua altura. Assim, podemos obter essa medida com a seguinte fórmula: V = πr2·h  Substituindo os valores de π, do raio e da altura desse cilindro, teremos: V = 3,14·22·10 V = 31,4·4  V= 125,6 m3 Alternativa A   
     • 2) Para determinar a altura do cilindro, basta usar a fórmula do volume, uma vez que conhecemos seu volume e raio. Para encontrar o raio, lembre-se de que o diâmetro tem o dobro da medida do raio, logo, r = 5 cm.  V = πr2·h 7850 = 3,14·52·h  7850 = 3,14·25·h  7850 = 3,14·25·h 7850 = 78,5·h 7850 = h 78,5      h= 100 cm  Alternativa B  
     • 3)  Será preciso encontrar o volume de cada um dos cilindros, mas, para isso, é preciso encontrar primeiramente seus raios. Para tanto, basta notar que o comprimento da circunferência é igual ao comprimento do lado maior do retângulo no cilindro I e no cilindro II é igual ao lado menor desse mesmo retângulo. Usando a fórmula do comprimento da circunferência, encontraremos os raios: CI = 2πrI 20 = 2πrI 20 = rI 2π10 = rI π CII =2πrII 10= 2πrII 10 = rII 2π 5 = rII π O volume do primeiro cilindro é: (imagem 3)     Já o volume do segundo cilindro é: (imagem 3.5)   Portanto, o volume do cilindro 1 é o dobro do volume do cilindro 2.  Alternativa B   
     • 4)  Se o raio desse cilindro mede x, então sua altura mede 2x. Logo: V = πr2·h V = πx2·2x V = 2πr3 Alternativa E   
     • 5)  a) Note que a altura desse cilindro equivale duas vezes seu raio, portanto, h = 2r. Pela fórmula da área lateral, temos: Al = 2 π.r.h Al = 2 π.r.2r Al = 4 π.r2 Al = 100π cm2    b) Sendo a área da base (Ab) πr2, temos pela fórmula da área total:  At = Al + 2Ab At = 4 πr2 + 2πr2 At = 6 πr2 At = 150π cm2   
     • 6) A questão informa que a altura e o raio do cilindro possuem a mesma medida. Vamos considerar que h = r = x. Temos: Volume do cilindro:V = π.r².h = π.x².x = π.x³Área total do cilindro:A = 2.π.r(h + r) = 2.π.x(x + x) = 2.π.x(2x) = 4.π.x²Como a razão V/A = 2, temos: (anexo 6)         Assim, a altura e o raio do cilindro medem 8 metros.Calculando a área lateral:Al =2.π.r.h Al =2.π.8.8 Al =128π   Resposta: A   
     • 7) A informação que ainda não temos para calcular a área pedida é o raio da base do cilindro. Nosso objetivo inicial será utilizar a medida da altura e do volume para descobrirmos o raio.  Utilizando a fórmula do volume: V = π.r².h  192π = π.r².12  192 = 12r² r² = 192/12 r² = 16  r = 4 cm  Agora que sabemos a medida do raio, vamos calcular a área lateral ocupada pela fita, cuja altura é de 2 cm.  Al = 2.π.r.h  Al = 2.π.4.2  Al = 16.π cm²   Resposta: C   
     • 8) Cálculo da Área lateral Alat = 2 r h = 2 2.3 = 12 cm2  Cálculo da Área total Atot = Alat + 2 Abase Atot = 12 + 2 22 = 12 + 8 = 20 cm2  Cálculo do Volume V = Abase × h = r2 × h V = 22 × 3 = × 4 × 3 = 12 cm33     
     • 9)  1570 litros → 1,57 m³ V = π * r² * h 1,57 = 3,14 * r² * 2 1,57 = 6,28 * r² 1,57 / 6,28 = r² 0,25 = r² √r² = √0,25 r = 0,5 m  A medida do raio do cilindro é de 0,5 metros ou 50 centímetros
     • 10) A resolução desse problema consiste em determinar a área total desse barril, que apresenta o formato de um cilindro. Do enunciado do problema, obtemos: h = 1,2 m  r = 40 cm = 0,4 m St = ? Pela fórmula da área total, temos que: St = 2∙π∙r∙(h + r)  St = 2 ∙ 3,14 ∙ 0,4 ∙ (1,2 + 0,4)  St = 2 ∙ 3,14 ∙ 0,4 ∙ 1,6 St = 4,02 m2  Portanto, serão gastos, aproximadamente, 4,02 metros quadrados de chapa metálica para confeccionar um barril.   
     • 6
     • 3
       • 3.5
   • RESOLUÇÃO CONE
     • 1) Veja na figura abaixo que (figura 1), após a rotação em torno da base do triângulo isósceles, teremos um sólido formado por dois cones iguais. Calcularemos o volume de um deles, e depois multiplicaremos por 2.  Utilizaremos o Teorema de Pitágoras para o cálculo do raio da base do cone: 5² = 3² + r² 25 = 9 + r² r² = 25 – 9 r² = 16  r = √16  Calculando o volume do cone: V = Área da base x altura / 3  V = π . 4² . 3 / 3 V = π . 16  V = 16π cm³  Volume total:  2 . 16π = 32π cm³  Resposta: A   
     • 2) Vamos comparar cada uma das fórmulas utilizadas para o cálculo do volume do cone e do cilindro. Fórmula para cálculo de volume de cilindros: V = π.r².h  Fórmula para cálculo de volume de cones: V = (π.r².h)/3 Como altura e raio são iguais, claramente o volume do cone é 1/3 do volume do cilindro.  Resposta: D   
     • 3) Veja na figura abaixo (figura 3) que podemos utilizar a semelhança de triângulos para concluir que o raio do cilindro também é metade do raio do cone.  Vci = área da base . altura   150 = π.r².h  Volume do cone Vco = área da base . altura / 3 Vco = π.(2r)².2h/3 Vco = π.4r².2h/3 Vco = 8π.r².h/3   Como π.r².h = 150, temos: Vco = 8.150/3 Vco = 400 cm³  Resposta: A   
     • 4) Veja na figura 4 que o cilindro está dentro do cone.   Analisando cada uma das alternativas.   a) A função afim que descreve h como função de r é crescente. Basta verificar que a medida que r aumenta, h diminui, ou seja, a função é decrescente. Para encontrar a equação de h, vamos usar o método dos triângulos proporcionais. Se o triângulo maior, ABC, e o triângulo menor CDE. Veja: (figura 4.5) Obs: o fato de -2,5r ser negativo nos prova que a função afim é decrescente.   b) O volume do cilindro como uma função de r é uma função quadrática. Utilizando a fórmula: V = π.r².hV = π.r².(25 – 25r/10) V = 25π.r² – 25π.r³/10 Veja que a função é cúbica e não quadrática.  c) Se A(r) é a área lateral do cilindro em função de r, então A(r) = 50 r. A(r) = base.altura = 2π.r.h = 2π.r.(25 – 25r/10) = 50π.r (1 – r/10) d) É possível encontrar um cilindro de raio da base igual a 2 centímetros e altura igual a 19 centímetros que esteja inscrito no referido cone. h = 25 – 25r/10 = 25 – 25.2/10 = 25 – 5 = 20   e) O cilindro de maior área lateral que pode ser inscrito no referido cone tem raio da base superior a 6 centímetros. A(r) = 50π.r (1 – r/10) = 50π.r – 5π.r². (função quadrática decrescente, o ponto máximo de r é o vértice) xv = -b/2a – -50π/2(-5π) = 5 Resposta: C       
     • 5) Primeiramente, devemos calcular a altura do cone. Nesse caso, podemos utilizar o teorema de Pitágoras:  h2 + r2 = g2 h2 + 9 = 25 h2 = 25 – 9 h2 = 16 h = 4 m  Após encontrar a medida da altura, basta inserir na fórmula do volume:  V = 1/3 π.r2. h V = 1/3 π . 9 . 4 V = 12 π m3   
     • 6) Para encontrar o volume do tronco do cone basta colocar os valores na fórmula: R: 20 cm r: 10 cm h: 12 cm  V = π.h/3 . (R2 + R . r +r2) V = π.12/3 . (400 + 200 + 100) V = 4п . 700 V = 2800 π cm3   
     • 7) Alternativa c
     • 8) Primeiramente, temos que calcular a geratriz desse cone:  g = √r2 + h2 g = √62 + 82 g = √36 + 64 g = √100 g = 10 cm  Feito isso, podemos calcular a área lateral através da fórmula: Al = π.r.g Al = π.6.10 Al = 60π cm2 Pela fórmula da área total, temos: At = π.r (g+r) At = π.6 (10+6) At = 6π (16) At = 96π cm2   
     • 9) Para encontrar a área total desse tronco de cone, é necessário encontrar as áreas da base maior, menor e ainda, da lateral. Além disso, é importante lembrar o conceito de diâmetro, que equivale duas vezes a medida do raio (d = 2r). Assim, pelas fórmulas temos: Área da Base Menor Ab = π.r2 Ab = π.42 Ab = 16π cm2 Área da Base Maior AB = π.R2 AB = π.62 AB = 36π cm2 Área Lateral Antes de encontrar a área lateral, temos que encontrar a medida da geratriz da figura: g2 = (R – r)2 + h2 g2 = (6 – 4)2 + 42 g2 = 20 g = √20 g = 2√5 Feito isso, vamos substituir os valores na fórmula da área lateral: Al = π.g. (R + r) Al = π . 2√5 . (6 + 4) Al = 20π√5 cm2 Área Total  At = AB + Ab + Al At = 36π + 16π + 20π√5 At = (52 + 20√5)π cm2   
     • 10) (FIGURA 10)   Cada chocolate possui 75,36 cm³ de volume. A fábrica quer produzir 2000 peças, então: 2000 * 75,36 = 150 720 cm³ Lembrando que 1 cm³ = 1 ml, temos 150 720 ml de chocolate que corresponde a 150,72 litros.   
     • 1
     • 3
     • 4
     • 4.5
     • 10
   • RESOLUÇÃO ESFERA
     • 1) Nota-se que a fórmula matemática utilizada para o cálculo do volume de uma esfera está em função apenas de r. Como o raio será quadruplicado, veja o que vai acontecer quando elevamos ao cubo: (4r)³ = 4³.r³ = 64.r³  Daí, quando o raio de uma esfera é quadruplicado, o volume passa a ser 64 vezes maior que o inicial. Resposta: C   
     • 2) Como os cortes foram paralelos e igualmente espaçados, a parte que possuirá o maior volume será aque possui o maior raio. Nesta caso, a região de maior volume é a III.   Resposta: B   
     • 3) Para resolvermos a questão, é necessário sabermos que um litro de água enche uma esfera de volume igual a 1 dm³. Desta forma, consideraremos que o diâmetro deve atingir 2 dm, e o raio 1 dm.  Calculando o volume da esfera: V = (4/3) . π . r³ V = (4/3) . 3,14 . 1³  V = (4/3) . 3,14 . 1  V = 4,19 dm³ Daí, são necessários, aproximadamente 4,2 litros.   Resposta: A   
     • 4) Em nossas publicações, vimos que o paralelepípedo, a pirâmide, o cilindro e o cone podem ser planificados. O único sólido dentre as opções que não pode ser planificado é a esfera. Um exercício interessante que o aluno pode fazer caso tenha dúvida, é descascar uma laranja e tentar colocar todas as cascas no plano. Resposta: C    
     • 5)  I – o paralelepípedo é um tipo de poliedro, que é um sólido geométrico de três dimensões, cuja superfície é formada por um número finito de superfícies planas.  II – um cilindro reto é um sólido de revolução, gerado pela rotação de um retângulo em torno de um de seus lados.  III – uma esfera é um sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro. Resposta: D   
     • 6) O hexaedro regular é o objeto que conhecemos como cubo. Quando a questão informa que o cubo “inscreve a esfera”, ela quer dizer que a esfera está dentro do cubo. Desta forma, se o raio da circunferência mede r, cada aresta do cubo medirá 2r. Veja: (FIGURA 6) Como sabemos o volume da esfera, vamos utilizar a fórmula do volume para calcularmos a medida do raio r.  V = (4/3).π.r³  9π/2 = (4/3).π.r³  9/2 = (4/3).r³  r³.(4/3) = 9/2  r³ = (9/2).(3/4) r³ = 27/8 r = 3/2 cm Daí, concluímos que o raio mede 3/2 cm e as arestas do cubo medem 3 cm. Utilizando a fórmula matemática que calcula a diagonal do cubo: D = a.√3  D = 3.√3   Resposta: C   
     • 7)  Calcular a área de uma esfera é simples. Basta substituir o valor do raio e o valor de π na fórmula. Observe:  A = 4πr2  A = 4·3·632 A = 12·3969 A = 47628 cm2  Gabarito: letra A.   
     • 8)  Substituindo as medidas conhecidas na fórmula da área da esfera, teremos: A = 4πr2 1728 = 4·3·r2 1728 = 12·r2 1728 = r2 12        144 = r2 r2 = 144  √r2 = √144 r = 12 cm   Gabarito: letra B.   
     • 9)   Primeiro, calculamos as áreas das esferas: Av = 4πr2 Av = 4·3·42 Av = 12·16 Av = 192 cm2 Ab = 4πr2 Ab = 4·3·92 Ab = 12·81 Ab = 972 cm2 Agora multiplicamos cada área pelo custo da tinta:  Esfera vermelha: 192·0,02 = 3,84 Esfera branca: 972·0,09 = 87,48  Como há duas esferas vermelhas e três brancas, teremos: 2·3,84 + 3·87,48 = 7,68 + 262,44 = 270,12  O artesão gastará R$ 270,12.  Gabarito: letra C.  
     • 10)  FIGURA 10    
     • 6
       • 10

7. VOLUME

   • É na geometria espacial que estudamos o conceito de volume, que é A MEDIDA DE CAPACIDADE DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS. Estes sólidos são limitados por planos que formam as suas superfícies.
   • OBS: No anexo da esfera o azul representa água logo está representando o volume.

8. ÁREA TOTAL/ ÁREA DA BASE

   • Área: equivale a medida da superfície de uma figura geométrica. Podemos dizer então que área total = superfície total do sólido em questão

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