Geometria Espacial

Geometria Espacial

1. Análise de sólidos no espaço, ou seja, é a geometria para objetos tridimensionais,

   • OBSERVAÇÃO: Na geometria espacial trabalhamos com três dimensões, sendo elas: largura, altura e comprimento, ou, em outros momentos, largura, profundidade e comprimento.

2. Classificação dos sólidos:

   • POLIEDRO
     • Sólidos fechados que possuem faces poligonais,
       • Compostos por vértices, arestas e faces, são eles: os prismas, as pirâmides e os sólidos de Platão (tetraedro, cubo, dodecaedro, icosaedro, cubo, dodecaedro).
     • Relação de Euler
       • Sobre os poliedros, o matemático Euler percebeu uma relação entre o número de vértices (V), faces (F) e arestas (A), conhecida como relação de Euler, dada pela expressão:
         • V – A + F = 2
           • Essa relação serve para descobrimos a quantidade de arestas que um sólido possui pelo número de faces e de vértices.
     • PIRÂMIDE
       • É composta por uma base e um vértice. Sua base pode ser triangular, pentagonal, quadrada, retangular, paralelogramo.
       • Tipos de Pirâmide
         • Sgundo as bases e o número arestas que formam as pirâmides, elas são classificadas em:
           • Pirâmide Triangular: sua base é um triângulo, composta de quatro faces: três faces laterais e a face da base.
           • Pirâmide Quadrangular: sua base é um quadrado, composta de cinco faces: quatro faces laterais e a face da base.
           • Pirâmide Pentagonal: sua base é um pentágono, composta de seis faces: cinco faces laterais e a face da base.
           • Pirâmide Hexagonal: sua base é um hexágono, composta de sete faces: seis faces laterais e face da base.
         • Sobre a inclinação da base, as pirâmides são classificadas de duas maneiras:
           • Pirâmides Retas, que formam um ângulo de 90º;
           • Pirâmides Oblíquas, que apresentam ângulos diferentes de 90º.
       • Área da Pirâmide
         • Área total: Al + Ab
           • Al: Área lateral (soma das áreas de todas as faces laterais)Al
             • Ab: Área da base
       • Volume da Pirâmide
         • V=1/3 Ab.h
           • Ab: Área da base
             • h: altura
     • Cubo
       • É caracterizado como um poliedro (hexaedro) regular ou ainda, um paralelepípedo retângulo com todas as faces e arestas congruentes e perpendiculares (a = b = c).
       • O tetraedro, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro é considerado um dos “Sólidos de Platão”
         • Os sólidos de Platão são casos particulares de poliedros, Platão relacionou-os com a criação do Universo, vinculando-os a elementos da natureza.
       • O cubo é formado por 12 arestas (segmentos de retas) congruentes, 6 faces quadrangulares e 8 vértices (pontos).
       • Diagonais do Cubo
         • As linhas diagonais são segmentos de reta entre dois vértices e, no caso do cubo tem-se:
           • Diagonal Lateral: d = a√2 Diagonal do Cubo: d = a√3
       • Área TOTAL do Cubo
         • A área corresponde a quantidade de espaço (superfície) necessária para determinado objeto.
           • At: área total
             • At = 6a^2
             • a: aresta
       • Área LATERAL do cubo
         • Soma das áreas dos quatro quadrados que formam esse poliedro regular
           • Al = 4a^2
             • Al: área lateral
               • a: aresta
       • Área da BASE do cubo,
         • Ab = a^2
           • Ab: área da base
             • a: aresta
       • Volume do Cubo
         • O volume de uma figura geométrica corresponde ao espaço ocupado por determinado objeto.
           • V = a3
             • V: volume
               • a: aresta

3. É DE EXTREMA IMPORTÂNCIA COMPREENDER OS CONCEITOS PRIMITIVOS, COMO: PONTO, RETA, PLANO E ESPAÇO.

4. Corpos Redondos

   • São sólidos que possuem como base um círculo (no caso do cone e cilindro) ou que são construídos sobre a rotação de um círculo.
   • CILÍNDRO
     • O cilindro ou cilindro circular é um sólido geométrico alongado e arredondado que possui o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento.
     • Raio: distância entre o centro do cilindro e a extremidade.
       • Base: plano que contém a diretriz e no caso dos cilindros são duas bases (superior e inferior).
         • Geratriz: corresponde à altura (h=g) do cilindro.
           • Diretriz: corresponde à curva do plano da base.
     • Classificação dos Cilindros
       • Cilindro Reto: Nos cilindros circulares retos, a geratriz (altura) está perpendicular ao plano da base.
       • Cilindro Oblíquo: Nos cilindros circulares oblíquos, a geratriz (altura) está oblíqua ao plano da base.
     • Áreas do Cilindro
       • Área da Base: Ab= π.r2
       • Área Lateral (medida da superfície lateral): Al= 2 π.r.h
       • Área Total: Para calcular a área total do cilindro, ou seja, a medida total da superfície da figura, soma-se 2 vezes a área da base à área lateral
         • At= 2.Ab+Al ou At = 2(π.r2) + 2(π.r.h)
     • Volume do Cilindro:
       • O volume do cilindro é calculado a partir do produto da área da base pela altura (geratriz):
         • V = Ab.h ou V = π.r2.h
   • CONE
     • Sólido geométrico que possui Ele possui uma base circular (r) formada por segmentos de reta que têm uma extremidade num vértice (V) em comum
       • O cone possui a altura (h), caracterizada pela distância do vértice do cone ao plano da base. Possui também a denominada geratriz, ou seja, a lateral formada por qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice e a outra na base do cone.
     • Classificação dos Cones
       • CONE RETO
         • Em um cone reto, o eixo é perpendicular à superfície inferior, ou seja, a altura e o centro da superfície inferior do cone formam um ângulo de 90º e todos os geradores se fundem nesse ângulo.De acordo com o teorema de Pitágoras, existe uma relação: g² = h² + r². Um cone reto também é chamado de "cone rotativo", obtido pela rotação de um triângulo em torno de um dos lados.
       • Cone Oblíquo: No cone oblíquo, o eixo não é perpendicular à base da figura.
     • Áreas do Cone
       • Área da Base: Ab = п.r^2
       • Área Lateral: formada pela geratriz do cone
         • Al = п.r.g
       • Área Total: para calcular a área total do cone, soma-se a área da lateral e a área da base.
         • At = п.r (g+r)
     • Volume do CONE
       • O volume do cone corresponde a 1/3 do produto da área da base pela altura
         • V = 1/3 п.r2. h
   • ESFERA
     • Esfera é um sólido geométrico obtido através da rotação do semicírculo em torno de um eixo. É composto por uma superfície fechada na medida que todos os pontos estão equidistantes do centro (O)
     • Componentes da Esfera
       • Superfície Esférica: corresponde ao conjunto de pontos do espaço no qual a distância do centro (O) é equivalente ao raio (R).
         • Cunha Esférica: corresponde à parte da esfera obtida ao girar um semicírculo em torno de seu eixo.
           • Fuso Esférico: corresponde à parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semicircunferência de um ângulo em torno de seu eixo.
             • Calota Esférica: corresponde a parte da esfera (semiesfera) cortada por um plano.
     • Área da Esfera
       • Área da superfície esférica,
         • Ae = 4.п.r^2
     • VOLUME DA ESFERA
       • Ve = 4.п.r^3/3

5. PRISMA

   • caracterizado por ser um poliedro convexo com duas bases (polígonos iguais) congruentes e paralelas, além das faces planas laterais (paralelogramos).
   • Classificação dos Prismas
     • (A) Prisma Reto: possui arestas laterais perpendiculares à base, cujas faces laterais são retângulos.
     • (B) Prisma Oblíquo: possui arestas laterais oblíquas à base, cujas faces laterais são paralelogramos.
   • Bases do Prisma: De acordo com o formato das bases
     • Prisma Triangular: base formada por triângulo.
       • Prisma Quadrangular: base formada por quadrado.
         • Prisma Quadrangular: base formada por quadrado.
           • Prisma Hexagonal: base formada por hexágono.
             • Prisma Heptagonal: base formada por heptágono.
               • Prisma Octogonal: base formada por octógono.
     • FÓRMULA DO PRISMA
       • ÁREA LATERAL
         • Para calcular a área lateral do prisma, basta somar as áreas das faces laterais. Num prisma reto, que possui todas as áreas das faces laterais congruentes,
         • Al = n . a
       • ÁREA TOTAL
         • Área Total: para calcular a área total de um prisma, basta somar as áreas das faces laterais e as áreas das bases:
           • At = Sl+ 2Sb
       • Volume do Prisma
         • V = Ab.h
   • ATENÇÃO: Os chamados “prismas regulares” são aqueles cujas bases são polígonos regulares e, portanto, formados por prismas retos.
     • CUBO
       • Se todas as faces do prisma forem quadrados, trata-se de um cubo
     • PARALELEPÍPEDO
       • Se todas as faces são paralelogramos
         • O paralelepípedo é um prisma quadrangular com base de paralelogramos.
       • Classificação do paralelepípedo
         • Paralelepípedos Oblíquos: possuem arestas laterais oblíquas à base.
         • Paralelepípedos Reto: possuem arestas laterais perpendiculares à base, ou seja, apresentam ângulos retos (90º) entre cada uma das faces.
       • Figura com três dimensões (altura, largura e comprimento).
       • Fórmulas do paralelepípedo
         • Área da Base: Ab = a.b
         • Área Total: At = 2ab+2bc+2ac
         • Volume: V = a.b.c
         • Diagonais: D = √a2 + b2 + c2
       • ATENÇÃO: Os paralelepípedos retângulos são prismas retos que apresentam base e face retangulares, um caso especial é o CUBO
         • Para calcular a área lateral de um paralelepípedo retângulo utiliza-se a fórmula: Al = 2(ac+bc)
   • Para calcular a área da base (Ab) de um prisma deve-se levar em conta o formato que apresenta. Por exemplo, se for um prisma triangular a área da base será um triângulo.

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