Geometria Espacial

Geometria Espacial

1. Poliedros

   • ► Poliedros são figuras espaciais fechadas formadas por polígonos reunidos que formam as suas faces, na qual as faces são os lados e são formadas por arestas unidas nos vértices.
     • Tipos
       • Poliedros regulares
         • • São os poliedros em que suas faces são formadas por polígonos regulares e congruentes.
       • Não Convexo
         • • Quando dois pontos que formam um segmento de reta nas extremidades e parte deste segmento de reta não pertença ao poliedro.
       • Convexo
         • • Quando dois pontos que formam um segmento de reta na superfície está inteiramente contido no poliedro.
     • Relação de Euler
       • F + V = 2 + A
         • É válida para poliedros convexos, mas também pode ser válida para alguns poliedros não convexos.
     • Poliedro de Platão
       • ► As faces possuem o mesmo número de arestas
         • ► Nos vértices partem o mesmo número de arestas
           • ► Vale a relação de Euler (V – A + F = 2)
     • Pirâmides
       • ► São poliedros formados por uma base poligonal e faces laterais triangulares unidas por um vértice que não pertence ao plano da base.
         • Pirâmide Regular
           • • É uma pirâmide reta cuja base é um polígono regular
             • AT= AB + AL
               • V=1/3.Ab.h
         • Tetraedro regular
           • • Pirâmide particular formada por quatro triângulos congruentes e equiláteros.
         • Tronco da pirâmide
           • • O tronco da pirâmide é o sólido formado por uma secção transversal em uma pirâmide, onde é corte feito por um plano paralelo à base da pirâmide.
             • V = h/3 . (A1 + √A1·A2 + A2)
     • Prismas
       • ► São poliedros formados por duas base congruentes, uma inferior e a outra superior. As faces são formadas por quadriláteros ou paralelogramos.
         • Paralelepípelo
           • • O paralelepípedo é um prisma quadrangular com base de paralelogramos.
             • Área da Base= a.b Área Total= 2ab+2bc+2ac Volume= a.b.c Diagonais= √a2 + b2 + c2
         • Prisma Regular
           • • Prisma regular é um prisma reto cuja base é um polígono regular
             • Volume = A(base).h
               • AT = AL + AB
         • Cubo
           • • É um poliedro regular e um paralelepípedo retângulo com todas as faces e arestas congruentes e perpendiculares (a = b = c).
             • Diagonal do Cubo: d = a√3
               • At = 6·a2
                 • V = a3
         • Princípio de Cavalieri
           • • Propõe que independentemente da altura em que o corte é feito, o volume da figura obtida no segundo prisma é igual ao da primeira e elas são congruentes.

2. Corpos Redondos

   • ►Os corpos redondos possuem superfícies curvas, e também podem ser chamados de sólidos de revolução, haja vista que são formados pela rotação de uma figura plana (figura geradora) ao redor de seu eixo
     • Cone
       • • Sólido com um círculo como base e por ser construído a partir da rotação de um triângulo.
         • Al = π . r . g
           • Ab = π . r²
             • At = π . r . (g + r)
               • V = 1⁄3 . π . r² . h
               • g² = h² + r².
         • Cones retos: Se o eixo do cone é perpendicular à base
           • Cones oblíquos: Se o eixo do cone é oblíquo à base
             • Cone equilátero: é equilátero quando a seção meridiana é um triângulo equilátero ( h = R√3.)
         • Tronco do cone
           • O tronco de cone de bases paralelas é uma forma espacial obtida após a secção transversal de um plano paralelo à base de um cone circular reto.
             • V= π⋅h3⋅(R2+R⋅r+r2)
               • Al= π⋅g(r+R)
                 • At = AB + Ab + Al
     • Cilindro
       • • Formado por duas bases que apresentam forma circular
         • Cilindro reto: a altura está perpendicular ao plano da base Cilindro Oblíquo: a geratriz está oblíqua ao plano da base.
           • Ab= π.r2
             • Al= 2 π.r.h
               • A = 2πr(h + r)
                 • V = πr2h
     • Esfera
       • • Sólido limitado pela superfície esférica. É definida como um conjunto de pontos que distam do centro a uma mesma medida.
         • A = 4 . π . r²
           • V = 4⁄3 . π . r³
         • Secção esférica
           • Para qualquer secção, vale a seguinte expressão: R2= r2+ d2
   • Os corpos redondos e os poliedros possuem características semelhantes. Ao compararmos o cilindro com o prisma percebemos que possuem duas bases e se compararmos o cone com a pirâmide percebemos que possuem apenas uma base e todas as arestas que saem dessa base se encontram em um único vértice

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