SOMA E ARCOS DUPLO

SOMA E ARCOS DUPLO

1. As formulas do arco duplo são utilizadas para calcular as funções seno, cosseno e tangente de um arco, quando multiplicado por 2. Fórmulas do arco duplo Para realizar o cálculo de arcos duplos, são considerados as fórmulas de adição de arcos, quando o objetivo é descobrir o valor de razões trigonométricas. É importante ressaltar que quando multiplicado por 2, os valores de seno, cosseno e tangente do arco duplo não são o dobro do valor do arco simples. Vejamos alguns exemplos: • Considere um arco simples que equivale a 30°. Seu arco duplo equivale a 60°. Então temos que seno 30° não é igual ao seno 60°. Apesar do arco duplo ser o dobro do valor em graus, seus resultados de seno, cosseno e tangente são diferentes. • Ainda no mesmo exemplo, teríamos que: seno 30° = ½; cosseno 30° = √3/2; tangente 30° = √3/3. • No entanto, seno 60° = √3/2; cosseno 60° = 1/2; tangente 60° = √3 • Ou seja, o arco duplo não equivale ao dobro do valor do arco simples quando falamos no cálculo final.

2. Como obter a fórmula do arco duplo Para obter a fórmula do arco duplo, consideramos a soma e a subtração de dois arcos. Assim, temos que: • Seno: Para fazer o cálculo do seno de dois arcos de valores diferentes consideramos que: sen(a b) = sena·cosb senb·cosa Então, para a fórmula do arco duplo basta considerar que a = b. Portanto, temos que: Seno 2a = seno (a a) = seno a . cosseno a seno a . cosseno a = 2 seno a . cosseno a • Cosseno: Para calcular o valor do cosseno de dois arcos de valor diferente usamos a fórmula abaixo: cos(a b) = cosa·cosb – sena·senb Então, para o arco duplo, assim como fizemos no seno, considerados que a = b: Cosseno 2a = cosseno (a a) = cosseno a . cosseno a seno a . seno a = cosseno²a – seno²a Ainda assim, é possível deixar essa fórmula ainda mais simples, pois sabemos que: sen²a cos²a = 1 Então, podemos substituir sen²a por: sen2a = 1 – cos2a Portanto a fórmula do cosseno de um arco duplo pode ficar ainda mais simples: Cos2a = cosseno²a –

   • Exemplos de seno, cosseno e tangente de arcos duplos 1. Qual o valor de um arco duplo com seno de 90°? Usando a fórmula que vimos no tópico anterior, sabemos que: Seno 2a = seno (a a) = seno a . cosseno a seno a . cosseno a = 2 sen a . cos a Então se: Sen 2a = 2 sen a . cos a Sen 90° = 2 sen 45° . cos 45° Sen 90° = 2 . √2/2 . √2/2 Sen 90° = 1 2. Sabendo que seno a = 10 e cosseno a = 5, calcule os valores de sen 2a e cos 2a. Começamos resolvendo esse problema descobrindo o valor de sen 2a: Sen 2a = 2 sen a . cos a Sen 2a = 2 . 10 . 5 Sen 2a = 100 Em seguida vamos descobrir o valor de cos 2 a, vimos acima que a fórmula do arco duplo para o cosseno pode ser bastante simplificada. Como já temos o valor de seno a, vamos utilizar: cos(2a) = 1 – 2sen²a cos 2a = 1 – 2 . (10)² cos 2a = 1 – 2 . 100 cos 2a = 1 – 200 cos 2a = 199 3. Qual o valor de um arco duplo com tg = 60°? Para resolver esse problema, sabemos que: Tg 2a = 2 tg a / 1 – tg²a Tg 60° = 2 . tg 30° / 1 – (tg 30°)² Tg 6