Números Complexos

Números Complexos

1. DEFINIÇÃO

   • Os números complexos são números compostos por uma parte real e uma imaginária.
     • Eles representam o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), cujos elementos pertencem ao conjunto dos números reais (R).

2. MÓDULO

   • O módulo de um número complexo z pode ser definido como a distância entre o afixo de z com a origem do Plano de Argand-Gauss. Denotamos o módulo de z como |z|.
     • Se temos o número complexo z escrito na forma algébrica z=x+yi, muitas vezes, facilita usar que |z|=x2+y2√. Outras vezes o bom uso do conceito ou de propriedades decorrentes nos traz um ganho significativo de cálculos ou procedimentos.

3. APLICAÇÕES

   • - Engenharia de Controle; - Teoria do Buraco Negro; - Engenharia Elétrica; - Geometria Fractal;

4. HISTÓRIA

   • Os estudos sobre os números complexos tiveram início graças à contribuição do matemático Girolamo Cardano (1501 – 1576)
     • Até então, os matemáticos acreditavam que extrair a raiz quadrada de um número negativo não era possível.

5. OPERAÇOES

   • ADIÇÃO
     • adicionar números complexos devemos operar parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária.
       • a adição de dois números complexos quaisquer pode ser calculada da seguinte forma: z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i
   • MULTIPLICAÇÃO
     • Na forma algébrica, usamos a propriedade distributiva
   • POTENCIAS DE I
     • As potências de i variam (entre 1, i, - 1 e - i), de modo que o resultado se repete a cada quatro potências. Por isso, qualquer potência de i pode ser simplificada para i0, i1, i2 ou i3.
   • CUNJULGADO
     • O conjugado de um número complexo é indicado por z, definido por z = a – bi. Assim, troca-se o sinal de sua parte imaginária.
       • Quando multiplicamos um número complexo por seu conjugado, o resultado será um número real.
   • DIVISÃO
     • Ao dividirmos dois números complexos devemos escrevê-los em forma de fração e multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador