GEOMETRIA

GEOMETRIA

1. NOÇÕES PRIMITIVAS

   • PONTO
     • O ponto é a base de toda a Geometria, pois é a partir de conjuntos deles que são formadas as figuras geométricas. Os pontos são usados para representar localizações no espaço.
   • RETA
     • Retas são conjuntos de pontos compreendidos como linhas infinitas que não fazem curvas. Embora sejam formadas por pontos, também não possuem definição, mas apenas essa característica. Obviamente, são necessários infinitos pontos para construir uma reta.
   • PLANO
     • Um plano, portanto, é um conjunto infinito e ilimitado de retas. Bons exemplos de pedaços de planos são encontrados em qualquer superfície reta, como a superfície de uma mesa, telas de smartphones, portas etc.
   • ESPAÇO
     • O espaço é o local onde toda a Geometria espacial acontece e faz sentido, onde todos os sólidos e figuras geométricas podem ser construídos. É todo o espaço que nos envolve e que segue infinita e ilimitadamente do ponto onde estamos para todas as direções.

2. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS:

   • Retas paralelas: duas retas são paralelas se pertencerem ao mesmo plano (coplanares) e não possuírem ponto de intersecção ou ponto em comum.
   • Retas coincidentes: pertencem ao mesmo plano e possuem todos os pontos em comum.
   • Retas concorrentes: duas retas concorrentes possuem apenas um ponto comum. Não é necessário que pertençam ao mesmo plano.
   • Retas concorrentes perpendiculares: são retas que possuem ponto em comum formando um ângulo de 90º.

3. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E PLANO

   • Uma reta e um plano poderão ter as seguintes posições relativas: Reta paralela ao plano: considere uma reta t e um plano β, eles serão paralelos se não tiverem nenhum ponto em comum.
   • Reta contida no plano: considerando uma reta t e um plano β. t está contido em β se todos os infinitos pontos de t pertencerem a β.

4. POSIÇÕES ENTRE DOIS PLANOS

   • Dois planos irão assumir no espaço as seguintes posições relativas entre si: Planos paralelos: dois planos são considerados paralelos se não possuírem pontos em comum ou se uma reta pertencente ao plano α (alfa) for paralela a uma reta pertencente ao plano β (beta).
     • Planos coincidentes: planos coincidentes equivalem a um mesmo plano, ou seja, todos os seus infinitos pontos e planos pertencem ao outro.
       • Planos secantes: dois planos são secantes quando forem distintos e a intersecção entre eles formar uma reta.

5. PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UM PONTO SOBRE UM PLANO:A projeção ortogonal do ponto A sobre o plano é exatamente o ponto de encontro entre esse plano e a reta ortogonal a ele que contém o ponto A. Sendo assim, a projeção ortogonal de um ponto sobre o plano também será um ponto.

   • PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UMA RETA SOBRE UM PLANO: A projeção ortogonal entre uma reta r e um plano α pode ser um ponto ou outra reta. O primeiro caso ocorre quando a reta já é ortogonal ao plano, e o segundo caso ocorre quando a reta r não é ortogonal ao plano α. Assim, é necessário encontrar um segundo plano ortogonal ao primeiro que contenha a reta r. A intersecção entre esses dois planos será a projeção ortogonal da reta r sobre o plano α. Sabendo que a intersecção entre dois planos é uma reta, podemos afirmar que a projeção ortogonal entre uma reta e um plano é outra reta ou um ponto.
     • PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UM SEGMENTO DE RETA SOBRE UM PLANO:Essa projeção ortogonal também pode ser um ponto ou outro segmento de reta. Nesse caso, o que muda entre a reta e sua projeção ortogonal ou entre o segmento de reta e sua projeção ortogonal é o ângulo que eles formam com o plano. A projeção ortogonal sempre forma o ângulo 0°, e a reta ou segmento inicial forma um ângulo qualquer. Se o segmento de reta já for ortogonal ao plano, a sua projeção ortogonal será apenas um ponto. Se o segmento de reta não for ortogonal ao plano, sua projeção ortogonal será o segmento de reta cujas extremidades são as projeções de suas extremidades sobre o plano.
       • PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UMA FIGURA GEOMETRICA: Dado o plano α e a figura A, a projeção ortogonal de A sobre α será o conjunto de pontos formado pelas projeções ortogonais de todos os pontos de A sobre α. É necessário usar a imaginação para observar projeções ortogonais. No caso dessas figuras, é bom pensar no formato que teria sua sombra ao meio-dia em um solo plano.

6. distância de um ponto a uma reta : A distância de um ponto A a uma reta R é igual à distância de A à sua projeção ortogonal A’ sobre a reta.

   • distância de um ponto a um plano: A distância de um ponto A a um plano P é igual à distância de A à sua projeção ortogonal A’ sobre o plano.
   • distância de uma reta a um plano paralelo: A distância de uma reta R a um plano P paralelo é igual à distância de um ponto A qualquer da reta à sua projeção ortogonal A’ sobre o plano.
     • distância entre dois planos paralelos: A distância de um plano P a um outro plano P’ paralelo é igual à distância de um ponto A qualquer do plano P à sua projeção ortogonal A’ sobre o plano P’.
     • ângulo entre uma reta e um plano: A medida do ângulo entre uma reta R e um plano P é igual à medida do ângulo a formado pela reta R e a sua projeção ortogonal sobre o plano.
       • ângulo entre dois planos: A medida do ângulo entre dois planos P e P’ é igual à medida do ângulo formado pelas retas R e R´ pertencentes aos planos P e P’ e perpendiculares à intersecção entre os dois planos.

7. POSTULADOS

   • Postulado 1: Existem infinitos pontos no universo.
     • Postulado 2: Existem infinitas retas no universo.
       • Postulado 3: Existem infinitos planos no universo.
         • Postulado 4: Existem infinitos pontos em cada reta e fora dela.
           • Postulado 5: Por um ponto passam infinitas retas.
     • Postulado 6: Existem infinitos pontos dentro e fora do plano.
       • Postulado 7: Para determinar uma reta é necessário dois pontos distintos.
         • Postulado 8: Para determinar um plano é necessário 3 pontos. Aqui podemos utilizar o exemplo de uma cadeira tripé.
           • Postulado 9: Se dois pontos distintos pertencem a um plano a reta que passa por esses pontos pertence ao plano.
             • Postulado 10: Todo ponto de uma reta forma com ela duas semi-retas.
               • Postulado 11: Uma reta que tem um só ponto comum com o plano ela fura o plano. Uma reta que tem dois pontos comuns ao plano ela está contida no plano.