Frente 3

Frente 3

1. Ferramentas básicas de Geometria

   • Ângulos
     • Ângulo raso: mede180°
     • Ângulo reto: mede 90°
     • Ângulo agudo: mede entre 0° e 90°
     • Ângulo obtuso: mede entre 90° e 180°
   • Perpendicularismo: Se tomarmos duas retas concorrentes cujos quatro ângulos formados tenham a mesma medida (90º), dizemos que essas retas são perpendiculares
   • Triângulos: Formas geométricas que possuem três lados e três ângulos internos.
     • Classificação
       • Quanto aos lados
         • Escalenos: quando cada lado tem comprimento diferente dos outros
         • Isósceles: quando dois lados apresentam o mesmo comprimento
         • Equiláteros: quando todos os lados têm o mesmo comprimento
           • No triângulo equilátero, o baricentro, o incentro, o ortocentro e o circuncentro coincidem no mesmo ponto
       • Quanto aos ângulos
         • Acutângulos: quando todos os seus ângulos internos são agudos (<90º)
         • Retângulos: quando um de seus ângulos internos é reto (=90º)
           • Seus lados são chamados de hipotenusa e de catetos. A hipotenusa é lado oposto ao ângulo reto e o maior lado. Os catetos são os lados opostos aos ângulos agudos
           • No triângulo retângulo, o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa e o ortocentro coincide com o vértice do ângulo reto
         • Obtusângulos: quando um de seus ângulos internos é obtuso (>90º)
     • Condições de existência
       • A soma dos ângulos internos de um triangulo é igual a 180º (ângulo raso) α + β + γ =180°
       • Nenhum dos lados é maior ou igual à soma dos outros dois; Nenhum dos lados é menor ou igual à diferença absoluta dos outros dois
   • Quadriláteros: formas geométricas que têm quatro lados e quatro ângulos internos
     • Retângulo, losango, quadrado, trapézio, paralelogramo
   • Perímetro: a soma das medidas dos lados de um polígono

2. Teorema de Pitágoras

   • O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: a² = b² + c²
   • Triângulos pitagóricos: triângulos retângulos cujas medidas dos lados são representadas por números inteiros
     • Quando as medidas dos lados são números primos entre si, recebem o nome de pitagóricos primitivos

3. Pontos notáveis do triângulo

   • Cevianas: todo segmento de reta que une o vértice de um triângulo a um ponto da reta que contém o lado oposto
     • Mediana: É a ceviana com extremos em um vértice e no ponto médio do lado oposto a esse vértice
       • Baricentro: Ponto em que as três medianas de um triângulo se intersectam, dividindo cada uma das medianas na proporção de 2 para 1; a parte que vai do vértice ao baricentro é o dobro da parte que vai do baricentro ao ponto médio
       • As medianas dividem um triângulo em seis triângulos de mesma área
     • Bissetriz: É a semirreta que divide um ângulo em dois de mesma medida (ao meio). Qualquer ponto da bissetriz equidista dos lados do ângulo
       • Incentro: É o centro da circunferência inscrita no triângulo, ou seja, daquela que tangencia os três lados do triângulo. O incentro sempre coincide com o ponto de interseção das bissetrizes internas de um triângulo.
     • Altura: O segmento que tem uma extremidade em um vértice e outra extremidade na reta suporte do lado oposto, de maneira a ser perpendicular a esse lado. A altura pode ser interna ou externa ao triângulo, conforme este seja acutângulo ou obtusângulo.
       • Ortocentro: Ponto em que as retas suporte das alturas de um triângulo se intersectam. Coincide com o vértice do ângulo reto, se o triângulo for retângulo.
     • Mediatriz: é a reta que passa pelo ponto médio de um segmento e é perpendicular a este.
       • Circuncentro: Ponto em que as três mediatrizes dos lados de um triângulo se interceptam, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
         • Pode ser: interno, se o triângulo for acutângulo; externo, se o triângulo for obtusângulo; no ponto médio da hipotenusa, se o triângulo for retângulo.

4. Relações métricas em polígonos

   • Todo polígono possui a mesma quantidade de lados, vértices e ângulos internos
   • Diagonal: Qualquer segmento de reta que une dois vértices de um polígono e que não é um de seus lados
     • O número d de diagonais de um polígono de n vértices é dado por: d=n.(n-3)/2
     • Polígono côncavo: tem pelo menos uma diagonal situada em sua região exterior.
       • Concavidades do polígono: regiões onde as diagonais exteriores ficam situadas
     • Polígono convexo: não possui concavidade
       • Polígono regular: polígono convexo que possui todos os lados congruentes e ângulos internos congruentes.
   • Quadriláteros inscritíveis
     • Quando os quatro vértices de um quadrilátero estão sobre uma mesma circunferência
     • “Um quadrilátero convexo é inscritível se, e somente se, seus ângulos internos opostos forem suplementares (180º)”.
   • Quadriláteros circunscritíveis
     • Quando existe uma circunferência que tangencia os quatro lados de um quadrilátero
     • “Um quadrilátero ABCD é circunscritível se, e somente se, as somas das medidas dos lados opostos forem iguais”.

5. Quadriláteros notáveis e suas áreas

   • Área: grandeza geométrica que avalia a extensão de uma superfície
     • Equivalência no plano: Formas fechadas são equivalentes quando cobrem regiões de mesma área no plano
   • Cálculo das áreas
     • Quadrado: a²
     • Retângulo e paralelogramo: b.h
     • Losango: d.D/2
     • Trapézio: (b+B).h/2

Bilder und Dateien der Mindmap