CAPITULO 5

CAPITULO 5

1. “CAPACITANCIA Y DIELÉCTRICOS”

   • ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES: SERIE, PARALELO, Δ → Υ
     • Capacidades entre cilindros coaxiales
       • Capacidad de un condensador esférico
         • Capacidad del condensador de placas planas
           • CAPACITANCIA O CAPACIDAD
             • EL CONDENSADOR
               • El condensador está formado por dos materiales conductores que poseen cargas iguales en magnitud y de signos opuestos
               • El condensador, llamado también capacitor se lo representa con la letra C. El material conductor A tiene carga positiva Q+ y está a un potencial V1, mientras que el material conductor B tiene carga negativa Qy está a un potencial V2.
             • La capacitancia o capacidad de un condensador se define como la razón de la carga Q de cualquiera de los conductores dividido para la diferencia de potencial V12 existente entre ellos
             • La capacidad es función de la geometría del conductor. La fórmula viene dado por la ecuación (5-1).
               • La unidad de la capacitancia viene expresado en faradios (F). Como esta cantidad es grande, se utilizan los submúltiplos, esto es,
           • En la figura 5.2, considerar como dos placas paralelas e infinitas, debido a que L >> d, entonces las líneas de campo eléctrico son paralelos.
             • Con los datos siguientes, procedemos a calcular la capacidad del condensador
         • se muestra un condensador formado por dos esferas conductoras concéntricas de radios a y b. La esfera de radio a tiene una distribución superficial uniforme de cargas totales positivas Q + , estas generan líneas de campo eléctrico en
           • Para calcular la capacidad de este condensador, en primer lugar debemos calcular el campo eléctrico para un radio a < r < b; utilizando la ley de Gauss este valor es:
         • forma radial, al atravesar por la esfera de radio b (de espesor muy pequeño) se produce la inducción de cargas, donde las cargas negativas Q - se van a la superficie interior y las cargas positivas Q + se van a la superficie exterior, como esta se encuentra aterrizada, entonces las cargas positivas se van a tierra.
           • En segundo y tercer lugar procedemos a calcular la diferencia de potencial entre las dos esferas y finalmente reemplazamos en la ecuación (5-1). La diferencia de potencial entre las dos esferas ΔV = V,
       • Para que las líneas de campo eléctrico salgan en forma radial y paralelas, la longitud L debe ser mucho mayor que el radio b, esto es, L >> b (figura 5.4)
         • Tomamos una superficie gaussiana de radio r (figura 5.4) y procedemos a calcular el campo eléctrico
     • Los condensadores o capacitares se pueden conectar de tres formas: en serie, en paralelo, y ni en serie ni en paralelo. En la figura 5.5 se muestran los símbolos de los capacitares y el de la diferencia de potencial.
       • Configuración de condensadores en paralelo
         • Los condensadores se encuentran conectados en paralelo, cuando los potenciales son iguales.
           • los condensadores C1 y C2 están conectados en paralelo, entonces los voltajes son iguales a Vab. La carga total Q es igual a la suma de las cargas Q1 y Q2, esto es,
             • Q = Q1 + Q2
             • Utilizando la ecuación (5-1), calculamos los valores de las cargas Q1 y Q2,
               • C1 = ab 1 V Q → Q1 = C1 Vab C2 = ab 2 V Q → Q2 = C2 Vab
               • Reemplazando los valores en la ecuación (5-2), tenemos:
                 • Las ecuaciones (5-3) = (5-4), entonces C = C1 + C2. Si conectamos en paralelo n capacitares,
                 • Conclusión: Cuando los condensadores se encuentran conectados en paralelo las capacitancias se suman, ecuación (5-5).
               • En la figura 5.6b calculamos la capacitancia equivalente C, esto es,
       • Configuración de condensadores en serie
         • Los condensadores se encuentran conectados en serie, cuando las cargas son iguales.
           • En la figura 5.7a los condensadores están conectados en serie, entonces las cargas son iguales, esto es, Q = Q1 = Q2 = Q3, y el voltaje Vab es igual a:
             • Reemplazando estos valores en la ecuación (5-6), tenemos:
               • En la figura 5.7b el capacitor equivalente C es,
               • Si conectamos n capacitores en serie, entonces:
               • Conclusión: Cuando los condensadores se encuentran conectados en serie, la capacitancia equivalente es igual a la sumatoria inversa, ecuación (5-8).
                 • Configuración de condensadores que no están ni en serie ni en paralelo.
                   • - Cuando tenemos una configuración de condensadores que no se encuentran conectados ni en serie ni en paralelo, es imposible reducir a un solo capacitor equivalente, razón por la cual, se procede a realizar una transformación delta a ye ( Δ→Υ ).
                     • Para obtener los valores de los capacitares, cuando existe una transformación Δ→Υ se utilizan las fórmulas que se encuentran a continuación:
                   • La figura 5.8a muestra tres capacitares C1, C2 y C3 conectados en Δ , se procede a reemplazar por una conexión en Υ formado por los capacitares Ca, Cb y Cc, entonces tenemos un circuito equivalente (figura 5.8b), en esta nueva configuración los capacitores ya se encuentran conectados en serie y en paralelo, por lo que podemos reducir a un solo capacitor equivalente.
           • Utilizando la ecuación (5-1), calculamos los valores de los voltajes V1, V2, y V3
     • ENERGÍA ALMACENADA EN LOS CONDENSADORES
       • La figura 5.9 muestra un condensador esférico, con las cargas positivas y potencial V en la esfera conductora de radio R, y la otra esfera con cargas negativas y potencial V0 se encuentra en el infinito. Para calcular la energía almacenada en este condensador, procedemos de la siguiente manera:
         • Siendo U, la energía total que va a quedar almacenada en el conductor (Figura 5.9)
           • Tomando un diferencial de carga (dq), tenemos:
           • Haciendo el voltaje inicial Vo = 0, tenemos:
       • Energía que almacena un condensador de placas paralelas en su campo eléctrico.
         • realizamos el siguiente procedimiento: primero calculamos el campo eléctrico con la ley de Gauss, luego calculamos el potencial eléctrico, posteriormente el calculamos la capacitancia y finalmente calculamos la energía.
           • Sabemos que la diferencia de potencial de las placas paralelas es ΔV,
             • Reemplazando los valores en la ecuación (5-9), la energía almacenada en el condensador de placas paralelas es:
         • DIELÉCTRICOS
           • En un material dieléctrico, no pueden haber movimiento de cargas. Se caracterizan por tener muy pocos electrones libres, como por ejemplo: Mica, caucho, aceite, etc.
           • INFLUENCIA DEL DIELECTRICO EN UN CONDENSADOR
             • Considerando la figura 5.11 demostraremos la influencia del dieléctrico en un condensador de placas paralelas. Las placas conductoras tienen distribuciones de cargas uniformes Q, en el vacío generan un campo eléctrico E0;
               • Haciendo la relación del potencial en el vacío con respecto al potencial total con el dieléctrico, tenemos:
                 • En el instante que colocamos el dieléctrico dentro del capacitor, la carga Q se mantiene constante, es decir, no varía su valor, mientras que el potencial sí disminuye. Reemplazando valores tenemos:
             • posteriormente, entre las placas se introduce un material dieléctrico que genera un campo Ei, debido a las cargas q (asumimos que el dieléctrico tiene una pequeña capacidad de conducción, entonces se produce la inducción de cargas). Debido a este dieléctrico el campo total E disminuye. Esto es,
               • Siendo K = constante dieléctrica.
                 • La constante dieléctrica K, es función únicamente del material, no depende del campo externo ni del potencial del condensador; es una característica de los aislantes. A continuación citaremos algunos ejemplos de constantes dieléctricas:
             • LEY DE GAUSS EN CONDENSADORES CON DIELECTRICOS
               • Para demostrar la ley de Gauss en condensadores con dieléctrico utilizamos el condensador con placas paralelas (figura 5.12). Calculamos E con el dieléctrico,
                 • Sabemos que el campo eléctrico sin dieléctrico es:
                   • La ecuación (1-10) es igual a (1-12)
                 • Pero, E = K E0 → E0 = K E, reemplazando en (1-11)
                   • En el capacitor de placas paralelas Q representa la carga neta Qn, entonces la ecuación (1-13) representa a la ley generalizada de Gauss.
               • ENERGÍA ALMACENADA EN UN MEDIO DIELÉCTRICO
                 • Considerando la figura 5.12, procedemos a calcular la energía almacenada en el condensador en forma similar a los condensadores sin dieléctrico.
                 • reemplazando en U, tenemos la energía almacenada en un condensador con dieléctrico.

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