Álgebra Linear

Álgebra Linear

1. Conjuntos numéricos

   • Naturais
     • 0,1,2,3...
     • Todo Natural tem um SUCESSOR
     • n, n+1, n+2... são chamados CONSECUTIVOS
     • Nem todo Natural tem um ANTECESSOR (o zero, por exemplo)
     • N
       • Formado por números Cardinais
         • O número cardinal é aquele que expressa uma quantidade absoluta, enquanto o número ordinal indica a ordem ou a série em que determinado número se encontra incluído.
       • Operações
         • Adição
           • Adição de dois números naturais tem como resultado um número natural
           • Comutativa
             • a+b = b+a
           • Associativa
             • (a+b) + c = a + (b+c)
           • a + b = c . São chamados a e b de parcelas e c de total ou soma
           • Elemento neutro é o 0
         • Subtração
           • A subtração de dois números naturais NEM SEMPRE resulta em um número natural
           • a - b = c. Chamamos a de minuendo, b de subtraendo e c de resto ou diferença.
           • Não é comutativa
             • Nem sempre a - b = b - a
           • Não é associativa
             • Nem sempre (a - b) - c = a - (b - c)
         • Multiplicação
           • A multiplicação de dois números naturais sempre resulta em um número natural
           • Para a . b = c . Chamamos a e b de fatores e c de produto
           • Elemento neutro é o 1
           • É comutativa
             • a . b = b . a
           • É associativa
             • (a . b) . c = a . (b . c)
           • É distributiva para adição
             • a . (b + c) = (a . b) + (a . c)
           • É distributiva para subtração
             • a . (b - c) = (a . b) - (a . c)
         • Divisão
           • A divisão de dois naturais nem sempre resulta em um número natural
           • Para a : b = c . Temos a como dividendo, b divisor e c quociente
           • Não é comutativa
           • Não é associativa
           • É distributiva à direita para adição
             • (b + c) : a = (b : a) + (c : a)
           • É distributiva à direita para subtração
             • (b - c) : a = (b : a) - (c : a)
       • Divisibilidade e números primos
         • Múltiplo
           • Múltiplo de um número inteiro é o produto desse número por um número inteiro
             • 5 . 10 = 50, então 50 é múltiplo de 5 e de 10
           • Só o zero é múltiplo de zero
           • Qualquer inteiro é múltiplo de 1
           • Para um n qualquer, inteiro e positivo, seus múltiplos são: M(n) = {+-1n; +-2n; =-3n; +-4n...}
           • O zero é múltiplo de todos os inteiros (múltiplo universal)
         • Divisor
           • O divisor de um número inteiro a é qualquer inteiro d, tal que a = d . n, para um inteiro n
             • a : n = d
           • Se d é divisor de a, diz-se que a é divisível por d
           • 1 é divisor universal
           • Menor divisor inteiro positivo é 1 e maior divisor de n é |n|
           • Zero não é divisor de nenhum inteiro
           • Critério de divisibilidade
             • Regra que permite reconhecer se um número é divisível ou não, sem realizar toda a conta
               • Ex.:
                 • Para ser divisível por 5 o número deve terminar com 0 ou 5.
                 • Para ser divisível por 2 um número deve terminar com 0; 2; 4; 6 ou 8.
                 • São divisíveis por 10; 100; 1000 respectivamente os números que terminem com 0; 00; 000
                 • São divisíveis por 4 os números cujos dois últimos números são divisíveis por 4. Ex.: 196. 96 é divisível por 4, então 196 tbm
                 • Da mesma forma que para 4, os divisíveis de 8 terão os últimos 3 números divisíveis por 8
                 • Serão divisíveis por 25 os números que terminarem com 00; 25; 50; 75
                 • São divisíveis por 3 se a soma dos valores dos algarismos são divisíveis por 3. Ex.: 74022. 7+4+0+2+2 = 15, que é divisível por 3.
                 • São divisíveis por 9 se a soma dos valores dos algarismos são divisíveis por 9.
                 • É divisível por 6 se for divisível por 2 e por 3
                 • É divisível por 12 se for por 3 e por 4
                 • É divisível por 7 quando a diferença entre o valor de suas dezenas e o dobro do algarismo de sua unidade é divisível por 7. Ex.: 819. 81 dezenas e sua unidade é o 9. Assim 81 - (2*9) = 63, que é divisível por 7.
                 • Um número é divisível por 11, caso a soma dos algarismos de ordem impar (a partir das unidades) subtraídos da soma dos algarismos de ordem par, resultar em um número divisível por 11. Caso o resultado seja igual a 0, pode-se afirmar também que é divisível por 11
                   • Ex.: 45678. O 8 é o primeiro número (ordem 1 = IMPAR), o 7 é o segundo número (ordem PAR)
                 • Serão divisíveis por 13 se a soma das suas dezenas com o quadruplo do valor de seus algarismos das unidades for divisível por 13
                   • Ex.: 351. 35+ (4*1) = 39, que é divisível por 13
   • Inteiros
     • ...-3,-2,-1,0,1,2,3...
     • Z
     • N C Z
     • Z_
       • Número Inteiros NÃO POSITIVOS
         • ...-3,-2,-1,0
           • Possui o zero
     • Z*_
       • Números Inteiros NEGATIVOS
         • ...-3,-2,-1
           • Não possui o zero
     • Z*+
       • Números inteiros POSITIVOS
         • 1,2,3...
           • Não possui o zero
     • Z+
       • Números inteiros NÃO NEGATIVOS
         • 0,1,2,3...
           • Possui o zero
     • Z+ = N
   • Racionais
     • Q
     • Qualquer número que possa ser representado por uma fração
     • X| X = a/b
       • a e b inteiros e b diferente de zero
     • X| b . x = a
       • a e b inteiros
     • Z C Q
     • Dizimas periódicas = 0,222... (números quebrados infinitos)
       • Forma fracionária = 2/9
       • Dizimas periódicas possuem um PERÍODO (parte que se repete)
       • Periódica = existe um número (ou conjunto de números que se repete infinitamente)
     • Decimal simples 0,321 (números quebrados finitos)
       • Forma fracionária = 321/1000
   • N C Z C Q
   • Reais
     • R
     • Qualquer número decimal, periódico ou não periódico
     • R = Z + Q + I
   • Irracionais
     • I
     • Formam decimais infinitos não periódicos, mas não possuem forma fracionária
       • Números infinitos que não se repetem
     • Ex.: Raiz de 2, Pi...
       • 1,4142...
       • 3,1415...
     • A raiz de um numero natural (N) ira resultar ou em um número natural ou em um número irracional

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