GEOMETRIA ANALÍTICA

GEOMETRIA ANALÍTICA

1. SISTEMA DE EIXOS COORDENADOS

   • Exemplos
     • Qual o comprimento e o ponto médio do segmento de extremos A (2, 3) e B (6, 6)
     • A distância entre os pontos A (-2, y) e B (6, 7) é 10. O valor de y é:
       • dAB² = (Δx)² + (Δy)² => 10² = (-8)² + (y-7)² => 36 = (y-7)² => y-7 = 6 ou y-7 = -6 => y' = 13 ou y'' = 1

2. EQUAÇÃO DA RETA

   • Equação reduzida da reta
   • Exemplos
     • Qual a equação da reta que passa pelos pontos A (1, 4) e B (5, 12)?
       • a = Δy/Δx = 8/4 = 2 => y = 2x + b => 4 = 2.1 + b => b = 2 => y = 2x + 2
     • Os pontos A (1, 3), B (3, 7) e C (-4, k) pertence a mesma reta, isto é, estão alinhados. Qual o valor de k?
       • a = Δy/Δx = 4/2 = 2 => y = 2x + b => 3 = 2.1 + b => b = 1 => y = 2x + 1 => k = 2(-4) + 1 => k = 7
     • Os coeficientes angular e linear da reta da equação 3x - 5y + 4 = 0 corresponde a:
       • 3x - 5y + 4 = 0 => 5y = 3x + 4 => y = 3/5x + 4/5
     • O coeficiente angular e linear da reta 4x - 2y +2 = 0 são, respectivamente:
       • 4x - 2y + 2 = 0 => 2y = 4x + 2 => y = 2x + 1
     • A reta da figura abaixo tem por equação:
       • y = -x + 2
   • Retas paralelas e perpendiculares
     • Se duas retas r e s são paralelas, então dizemos que possuem o mesmo coeficiente angular
     • Se duas retas r e s são perpendiculares, então dizemos que possuem os coeficientes angulares invertidos e com os sinais contrários
     • Exemplos
       • r: y = 3x - 4
         • s: => a = 3 (par.) / a = -1/3 (perp.)
       • r: y = x/4 + 5
         • s: => a = 1/4 (par.) / a = -4 (perp.)
       • r: 3x + 2y +6 = 0
         • 2y = -3x -6 => y = -3/2x - 3 => s: a = -3/2 (par.) / a = 2/3 (perp.)
       • r: y - 7x - 5 = 0
         • 7y = x - 5 => y = x/7 - 5/7 => s: a = 1/7 (par.) / a = -7 (perp.)

3. EQUAÇÃO DO CÍRCULO

   • Exemplos
     • C (1, 4) e r = 3
       • (x - 1)² + (y - 4)² = 3²
     • C (-3, 6) e r = 2
       • (x + 3)² + (y - 6)² = 2²
     • (x - 2)² + (y - 5)² = 16
       • C (2, 5) e r = 4
     • A área do círculo cuja circunferência é dada pela equação x² + y² - 2 + 4y - 20 = 0
       • x² + y² - 2 + 4y - 20 = 0 => x² - 2x + 1 + y² + 4y + 4 - 25 = 0 => (x - 1)² + (y + 2)² = 25 => C (1, -2) e r = 5
     • A equação da circunferência inscrita no quadrado da figura é:
       • (x - 1)² + (y - 1)² = 1² => x² - 2x + 1 + y² - 2y + 1 = 1 => x² + y² - 2x - 2y + 1 = 0
     • A equação da circunferência cujas extremidades de um diâmetro são os pontos A (-5, 1) e B (3, 5) é:
       • 1º Passo: Pm = C (-1, 3)
       • 2º Passo: d² = (Δx)² + (ΔY)² => (-8)² + (-4)² => d² = 64 + 16 = d = 4√5
       • 3º Passo: (x + 1)² + (y - 3)² = (2√5)² => x² + 2x + 1 +y² - 6y + 9 = 20 => x² + y² + 2x - 6y - 10 = 0

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