SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS

Observación
1. Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneas es compatible, porque el vector cero es una de sus soluciones, llamada solución trivial. Para un sistema de ecuaciones lineales hay dos casos posibles:
  1. a
    1. puede ser compatible determinado, esto es, tener solamente una solución (la trivial)
  2. b
    1. puede ser compatible indeterminado, esto es, tener por lo menos una solución no trivial
es homogéneo si
1. todos los términos constantes son cero; es decir, el sistema tiene la forma:
Todo sistema homogéneo de ecuaciones lineales es consistente, ya que x1 = 0, x2 = 0, … , xn = 0 siempre es una solución. Esta solución se conoce como solución trivial; si existen otras soluciones, se dice que son soluciones triviales.
Solución y discusión de sistemas homogéneos
1. En un sistema homogéneo, el rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la matriz ampliada es el mismo, ya que todos los elementos de la última columna de la matriz ampliada son ceros, por lo que no varía el rango de la matriz de los coeficientes:
  1. Los sistemas homogéneos siempre son sistemas compatibles (determinado o indeterminado), o lo que es lo mismo, siempre tienen solución.
  2. Si el rango de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada es igual al número de incógnitas, el sistema será compatible determinado:
  3. Cuando el sistema homogéneo es compatible determinado, la solución de todas sus incógnitas es igual a cero:
  4. Por otro lado, si el rango de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada es menor al número de incógnitas, el sistema será compatible indeterminado:

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