Números complexos

Números complexos

1. Número complexo é a soma de um número real com um número imaginário

   • por exemplo: z=a+bi
     • "z" é o número complexo, "a" o número real e "bi" o número imaginário
   • Números imaginários
     • A unidade é "i"
       • i= raiz de -1
         • i^2=-1, i^3=-i, i^4=1
           • as potencias de i se comportam de forma cíclica de 4 números ou seja, esses 4 números irão se repetir
             • ex; i^5=i, i^6=-1, i^7=-i, i^8=1
               • como descobrir o valor se o expoente for muito grande?
                 • ex: i^27, nós iremos dividir o expoente por 4, a "sobra" da divisão será o expoente o expoente, no caso do i^27 é o i^3 ou seja -i
     • Os números imaginários foram criados para serem as raízes quadradas de números negativos

2. O conjunto dos complexos engloba o conjunto dos imaginários, reais, irracionais, racionais, inteiros e naturais

   • z=a+bi
     • se "a" for igual a zero, z=bi, é um número imaginário puro
     • se "b" for igual a zero, z=a, é um número real
     • se "a" e "b" forem diferente de zero então é um numero imaginário

3. O conjugado é o mesmo número porém com a parte imaginária com o sinal trocado

   • ex: z=1+1i _z=1-1i
   • sinal do conjugado = _z ( o conjugado é representado por uma linha em cima do "z" porém não tem tracinho em cima de letras no computador)

4. plano de argand gauss

   • eixo x = eixo real = cosseno
   • eixo y = eixo imaginário = seno
   • usado para representar geometricamente números complexos
   • modulo de z é a distância do ponto até a origem
     • modulo de z = /z/
       • /z/ = raiz de a^2 + raiz de b^2
   • argumento é o angulo de /z/
     • argumento = T
     • sen do argumento = b dividido por /z/
     • cos do argumento = a dividido por /z/

5. coordenadas polares

   • existe o valor "r" que é distancia do ponto "p" a origem
   • existe o valor "t" (teta) que é o angulo entre "op"

6. forma trigonometrica = z = /z/ . ( cosT+i.senT)

   • conversão forma algebrica para trigonometrica, primeiro represente o ponto no plano de argand gauss, segundo encontre o modulo e o argumento
   • conversão forma trigonometrica para algebrica, resolva os valores de seno e cosseno e aplique propriedade distributiva

7. operações

   • soma e subtração de números complexos
     • nessa operação é preciso somar (ou subtrair) o número real com o outro número real e o número imaginário com o outro imaginário
       • ex: (2+3i) + (8+4i) = 10+7i
   • multiplicação
     • é preciso fazer "chuveirinho"
       • ex: (2+3i) (8+4i) = 4+32i
   • divisão
     • é preciso multiplicar a divisão pelo conjugado do denominador sobre o conjugado do denominador
       • ex: 5+7i/2+3i . 2-3i/2-3i