POLINÔMIOS

POLINÔMIOS

1. Exemplo de Polinômio

   • P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 – x + 2
     • Grau 4

2. Grau

   • O grau de um termo de uma variável em um polinômio é o expoente dessa variável nesse termo. Por exemplo, em 2x³ + 4x² + x + 7, o termo de maior grau é 2x³; esse termo, e portanto todo o polinômio, é dito ser de grau 3.

3. Raiz

   • P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn -2 + ... + an – 1x + an
     • O termo “raiz” é visto pela primeira vez como a solução de uma equação, entretanto você deve lembrar que aquela equação estava igual a zero, sendo o zero o valor numérico da equação
       • Exemplo
         • Se pegarmos um polinômio qualquer P(x) = - 2x3 + 5x2 – x + 1 = 0, a raiz dele será um número qualquer b se, somente se, o valor numérico do polinômio for zero quando x = b.
           • P(x) = x2 - 1, para calcularmos o zero da função, devemos colocar P(x) = 0, então:
             • x2 - 1 = 0 x2 = 1 x = + 1 ou - 1
               • Concluímos que -1 e +1 é raiz do polinômio P(x) = x2 - 1.

4. Multiplicação

   • O produto de dois polinômios (P e Q) é definido como sendo a soma dos produtos de cada monômio de P por todos os monômios de Q.
     • [P(x) + B(x)] . [Q(x) + T(x)] = P(x) . Q(x) + P(x) . T(x) + B(x) . Q(x) + B(x) . T(x)
       • Exemplo
         • Qual é o produto entre os polinômios 2x2 + 4x3 – 2x e 3x9 – 2x3 – 8?
           • 2x2 + 4x3 – 2x)·(3x9 – 2x3 – 8) 2x2 ·(3x9) + 2x2·(– 2x3) + 2x2 ·(– 8) + 4x3·(3x9) + 4x3·(– 2x3) + 4x3·(– 8) – 2x·3x9 – 2x(– 2x3) – 2x(– 8)
             • 6x2+9 – 4x3+2 – 16x2 + 12x3+9 – 8x3+3 – 32x3 – 6x9 + 4x3 + 16x 6x11 – 4x5 – 16x2 + 12x12 – 8x6 – 32x3 – 6x9 + 4x3 + 16x 12x12 + 6x11 – 6x9 – 8x6 – 4x5 – 28x3 + 16x2 + 16x
               • Observação importante: Note que o resultado da multiplicação de polinômios tem grau igual à soma dos graus dos polinômios que foram multiplicados. No exemplo anterior, por exemplo, o primeiro polinômio tem grau 3 e o segundo tem grau 9. O grau do resultado é 12.

5. Adição

   • Adicionar x2 – 3x – 1 com –3x2 + 8x – 6.
     • (x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de sinal.
       • +(–3x2) = –3x2 +(+8x) = +8x +(–6) = –6
         • x2 – 3x – 1 –3x2 + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes.
           • x2 – 3x2 – 3x + 8x – 1 – 6 –2x2 + 5x – 7
             • Portanto: (x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) = –2x2 + 5x – 7

6. Subtração

   • Subtraindo –3x2 + 10x – 6 de 5x2 – 9x – 8.
     • (5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.
       • – (–3x2) = +3x2 – (+10x) = –10x – (–6) =+6
         • 5x2 – 9x – 8 + 3x2 –10x +6 → reduzir os termos semelhantes.
           • 5x2 + 3x2 – 9x –10x – 8 + 6 8x2 – 19x – 2
             • Portanto: (5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) = 8x2 – 19x – 2

7. Divisão

   • Ao dividir um polinômio P (x) por um polinômio D (x) não nulo, em que o grau de P é maior que D (P > D), quer dizer que devemos encontrar um polinômio Q (x) e R (x), de modo que:
     • Sabendo-se que P (x) = 4x3 – x2 + 2 e que D (x) = x2 + 1, determina-se o polinômio quociente e o resto.
       • O grau do quociente é 1, pois:
         • Q = P – D
           • Q = 3 – 2
             • Q = 1
       • Assim no polinômio Q (x) = a·x +b, o resto R (x) é um polinômio cujo maior grau pode ser 1, logo: R (x) = c ·x +d. Substituindo os dados na condição do passo 3, temos:

8. Teorema de Resto

   • O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax + b é igual ao valor numérico desse polinômio para:
     • ou seja
       • Exemplo
         • Calcule o resto da divisão de P(x) = x² + 5x - 1 por B(x) = x + 1:
           • Achamos a raiz do divisor: x + 1= 0 -> x = - 1
             • Pelo teorema do resto, sabemos que o resto é igual a P(-1): P(-1) = (-1)² + 5.(-1) -1 P(- 1) = - 5 = r
               • Portanto, o resto da divisão de x² + 5x - 1 por x + 1 é - 5

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