Circunferência Trigonométrica

Circunferência Trigonométrica

1. Medida de um Arco

   • Dada uma circunferência qualquer de centro O e raio r, marcamos dois pontos A e B, os quais dividem a circunferência em duas partes denominadas de arco de circunferência. Os pontos A e B são os extremos dos arcos. Caso as extremidades sejam coincidentes, temos um arco com uma volta completa.
   • Dizemos que o arco mede um radiano se o comprimento do arco for igual à medida do raio da circunferência. Assim, para sabermos a medida de um arco em radianos, devemos calcular quantos raios da circunferência são precisos para se ter o comprimento do arco. Portanto:
   • 360º → 2π radianos (aproximadamente 6,28) 180º → π radiano (aproximadamente 3,14) 90º → π/2 radiano (aproximadamente 1,57) 45º → π/4 radiano (aproximadamente 0,785)

2. Números Reais Associados a Pontos da Circunferência Trigonométrica

   • O círculo trigonométrico é uma circunferência de raio 1 usada para representar números reais relacionados a ângulos. Sendo assim, cada ponto dessa circunferência está relacionado a um número real, que, por sua vez, representa um ângulo. Assim, é possível representar também valores de seno e cosseno.
   • O centro desse círculo está sobre o ponto O = (0,0) do plano cartesiano e, como o raio dele é 1, podemos calcular seu comprimento da seguinte maneira: C = 2·π·r C = 2·π·1 C = 2·π
   • A ideia de volta está presente nos círculos trigonométricos. Como o comprimento da circunferência é 2·π, podemos dizer que uma volta completa nesses círculos tem essa medida. Repare apenas que o ângulo formado por essa volta mede 360°. Dessa maneira, o número 2·π relaciona-se com o ângulo 360°. Assumindo que essas voltas sejam feitas no sentido anti-horário, vamos calcular o valor numérico e o ângulo correspondente à meia-volta: C = 2·π = π 2 2 Portanto, meia-volta é igual a π. O ângulo gerado por meia-volta é 180°, pois é metade de 360°.
   • Os chamados quadrantes. Eles são definidos no sentido anti-horário. Na figura a seguir, observe os quatro quadrantes e sua localização no círculo trigonométrico. Em cada um desses quadrantes pode ser encontrado um intervalo de números reais em função de π em que cada valor está relacionado a um ângulo.
     • Quadrante I: contém os números reais que vão de 0 até π/2 e os ângulos entre 0° e 90°.
     • Quadrante II: contém os números reais que vão de π/2 até π e os ângulos entre 90° e 180°.
     • Quadrante III: contém os números reais que vão de π até 3π/2 e os ângulos entre 180° e 270°.
     • Quadrante VI: contém os números reais que vão de 3π/2 até 2π e os ângulos entre 270° e 360°.
   • No círculo trigonométrico, é possível encontrar os valores de seno e de cosseno de um ângulo θ qualquer. Para tanto, é necessário construir esse ângulo no círculo trigonométrico
     • no círculo trigonométrico, as medidas de seno e cosseno de θ são iguais às medidas do cateto oposto e adjacente a esse ângulo. Podemos calcular agora os valores mais importantes para seno e cosseno. Observe no círculo trigonométrico que:
       • Quando θ = 0°, senθ = 0 e cosθ = 1. Quando θ = 90°, senθ = 1 e cosθ = 0. Quando θ = 180°, senθ = 0 e cosθ = – 1. Quando θ = 270°, senθ = – 1 e cosθ = 0. Quando θ = 360°, senθ e cosθ possuem os mesmos valores do caso em que θ é igual a 0°.
       • Nesse sentido, podemos saber os quadrantes nos quais o seno e o cosseno são positivos ou negativos.

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