Álgebra

Álgebra

1. Equações completas e incompletas. Equação completa: quando b é diferente de 0, ou seja, quando todos os coeficientes da equação são diferentes de zero. EX: 2x²-5x+1/2=0

   • Equação incompleta: quando b=0 e / ou c=0 EX: 3x²-2x=0, (nesse exemplo, não existe termo independente escrito, pois o valor de C é nulo)
   • Duas ou mais equações são ditas equivalentes quando possuem as mesmas resoluções. EX: x²-x-6=0 e 3x²-3x-18=0
     • Uma equação é dita equivalente à outra se foi obtida através de uma multiplicação de todos os seus termos por um mesmo número real não nulo

2. Equações por fatoração: a resolução através de fatoração será feita com base na propriedade do anulamento do produto no conjunto dos números reais: Sendo x e R, y e R E xy=0, então x=0 ou y=0

   • Fator comum em evidência: x²-ax=0 -> x(x-a)=0 -[x=0 ou x=a]
   • Diferença de dois quadrados: x²-a²=0 -> (x-a)(x+a)=0 -[x=a ou x=-a]
   • Trinômio do 2º grau (Produto de Stevin): x²+(a+b)x+ab=0 -> (x+a)(x+b)=0 -[x=-a ou x=-b]
   • Trinômio do quadrado perfeito: x²+2ax+a²=0 -> (x+a)²=0 -[ x=-a (raiz dupla) ou x²-2ax+a²=0 -> (x-a)²=0 -[x=a (raiz dupla)

3. Completando quadrados: utilizando princípios e propriedades das equações, é possível transformar o 1º membro da igualdade de uma equação do 2º grau em um trinômio quadrado perfeito.

4. A Fórmula de Bhaskara: é a fórmula que resolve toda e qualquer equação do 2º grau, chamada fórmula resolutiva da equação quadrática.EX: ax²+bx+c=0 -> x² + bx/a= -c/a -> ... -> x= -b_+ (raiz quadrada de b² - 4ac)/ 2a

5. Equações literais: uma expressão constituída de incógnitas e parâmetros. EX: ax² + bx+ c =0, com a incógnita X. As letras a, b e c são coeficientes, que também podemos chamar de parâmetros

6. Discriminante: essa expressão recebe esse nome porque discrimina (diferencia) o valor e a forma das raízes de uma equação do 2º grau. EX: x= -b _+ (raiz de b² - 4ac)/2a -> (discriminante = b²-4ac) x=-b_+ (raiz de discriminante)/2a

   • Existe 3 casos a se considerar:
     • Se o discriminante < 0, não será possível extrair a raiz quadrada do discriminante, pois não existe raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais.
     • Se o discriminante =0-> x=-b_+ (raiz de 0) /2a ->x=-b/2a, a equação possuirá um único valor real para a raiz. No entanto, é correto dizer que ele possui duas raízes reais iguais (raiz dupla)
     • Se o discriminante > 0 x=-b_+ (raiz de b²-4ac) /2a, encontraremos dois valores distintos para X. logo, a equação possuirá duas raízes reais distintas.
     • Portanto, [discriminante<0: a equação não possui raízes reais; [discriminante=0: a equação possui duas raízes reais iguais (ou um único valor real para a raiz ; [discriminante>0: a equação possui duas raízes reais distintas

7. Soma e produto das raízes (Relações de Girard): um detalhe interessante é que é possível conhecê-las mesmos que elas não existam no conjunto dos números rais.

   • Soma das raízes (S): (exemplo da pág 48), sendo x' e x" as raízes da equação ax² +bx+c=0, temos S=x' +x"=-b/a
   • Produto das raízes (P): (exemplo da pág 49), sendo x' e x" as raízes da equação ax² + bx + c =0, temos P=x'.x"=c/a
   • x²-Sx+P=0, em quem S é a soma das raízes e P é o produto das raízes

8. Forma fatorada do trinômio do 2º grau ax²+bx+c é a(x-x1)(x-x2), sendo x1 e x2 as raízes da equação ax²+bx+c=0