Matriz, tipos de matrices, operaciones con matrices (suma, resta y multiplicación), operaciones elementales sobre matrices

Matriz, tipos de matrices, operaciones con matrices (suma, resta y multiplicación), operaciones elementales sobre matrices

1. MATRIZ

   • Una matriz es una tabla ordenada de escalares aij de la forma
   • Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular, trabajaremos exclusivamente con matrices formadas por números reales.
   • El número de filas y columnas que tiene una matriz se llama dimensión de la matriz. Dos matrices son iguales si son de igual dimensión y coincide el valor de los elementos que ocupan la misma posición en ambas.

2. TIPOS DE MATRICES

   • Matrices cuadradas
     • Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n  n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada
   • Matriz identidad
     • La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A, A· I = I ·A = A
   • Matrices triangulares
     • Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices
   • Matrices diagonales
     • Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ..., dnn )
   • trapuesta de una matriz
     • La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por A
   • Matrices normales
     • Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = A T A. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal
   • Matrices ortogonales
     • Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = A T A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A -1 = A T . Consideremos una matriz 3  3 arbitraria
   • Matrices simétricas
     • Se dice que una matriz real es simétrica, si A T = A; y que es antisimétrica, si A T = -A

3. OPERACIONES CON MATRICES

   • suma de matrices
     • Dadas dos matrices del mismo orden, A y B, se define su suma como otra matriz, C, del mismo orden que las matrices sumando cuyos elementos se obtienen sumando a cada elemento de la primera matriz, A, el correspondiente elemento de la segunda matriz sumando, B
   • resta de matrices
     • La resta de dos matrices del mismo orden A y B, se define como la suma de A más la matriz opuesta de B, por lo que resultará ser otra matriz del mismo orden, D, cuyos elementos se obtienen de restar a cada elemento de la primera matriz A (minuendo) el elemento correspondiente de la matriz que resta, B (sustraendo)
   • multiplicacion con matrices
     • Para poder multiplicar dos matrices A y B, ( B A ⋅ ), el número de columnas de la matriz que multiplica en primer lugar, A, debe ser igual al número de filas de la matriz que multiplica en segundo lugar, B. Así pues, dadas dos matrices Amxn, Bnxp, el resultado de multiplicar A por B, B A ⋅ , es otra matriz C = B A
       • Ese producto consiste en multiplicar un elemento de la fila por el correspondiente de la columna y sumar el resultado al resto de productos de elementos de esa fila por esa columna

4. OPERACIONES ELEMENTALES SOBRE MATRICES

   • son aquellas transformaciones que como resultado tienen guardada la equivalencia de matrices, o sea, las operaciones elementales no afectan las múltiples soluciones del sistema de ecuaciones algebraicas lineales representado por esta matriz.
     • Operaciones elementales se utilizan en el método de Gauss para darle a una matriz el aspecto triangular o escalonado.
       • A las operaciones elementales de las filas pertenecen
         • transposición entre dos filas cualquieras de una matriz
           • multiplicación de cualquier fila de una matriz por una constante no nula
             • adición a cualquier fila de una matriz otra fila multiplicada por un número no nulo
     • Por escalamiento (Intercambio de filas)
       • Producto de fila por un escalar o suma de una fila con una combinación lineal de otras (eliminación)
         • Por permutación

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