Função Afim ou Função do Primeiro Grau

Função Afim ou Função do Primeiro Grau

1. Uma função f: R → R chama-se função afim quando existem dois números reais a e b tal que f (x) = ax + b, para todo o x ∈ R.

   • A fórmula dessa função é f (x) = ax + b. E essa fórmula possui uma variável (x) e o outro é um termo independente.
     • O a e o b são coeficientes, o a é um coeficiente do x e o b é um termo independente.
       • Essa função também pode ser escrita como y = ax + b.
         • Exemplos:
           • Problema:
             • João pagou um táxi, que cobra R$ 4,50 pela bandeirada e R$ 1,30 por km rodado. Ao percorrer 25 km, quanto João pagou ao motorista?
               • f (x) = 1,3 . x + 4,50
                 • O 1,3 é o a e o 4,50 é o b. O a e o b são 2 valores fixos.
                   • 25 . 1,30 + 4, 50 = 37,00
                     • Se João tivesse percorrido 10 km seria:
                       • 10 . 1,3 x + 4, 50 = 17,50

2. Determinação da função afim ou função do 1° grau:

   • Valor de uma função afim
     • É o valor que a função assume para um determinado x.
       • Exemplo: para f (x) = 3x + 1, determine f(1) e (-2):
   • Determinação da função afim conhecendo-se seus valores em dois pontos distintos:
     • O valor do a e do b tem de ser descoberto.
       • Exemplo: determine a função do 1° grau, sabendo que f (-1) = 3 e f (2) = 2. O -1 e o 2 são o x. O 3 e o 2 são o y.
         • Isso é um sistema com 2 incógnitas.
           • Para resolver esse sistema vamos usar o método da substituição.
             • Vamos isolar uma incógnita:
               • A função então é:
                 • Exemplo:
                   • Determine a função do 1° grau que passa pelos pontos A (1,5) e B (-3, -7).
                     • Nesse caso não há os valores e sim pontos.
                       • Nesse caso não há os valores e sim pontos.
                         • A primeira coordenada é o x e a segunda o x. O 1 e o -3 são o x e o 5 e o -7 são o y.
                           • y = a.x + b
                             • A = a + b = 5
                               • B = -3a + b = -7
                             • Temos um sistema. Vamos resolvê-lo usando o método da adição.
                               • f (x) = a x + b
                                 • A função então é: f (x) = 3 x + 3

3. Gráfico de uma função afim ou função do 1° grau:

   • O gráfico de uma função da forma f (x) = ax + b é sempre uma reya.
     • Exemplo:
       • Construa o gráfico das seguintes funções:
         • Para descobrir o gráfico de uma função do 1° grau basta saber dois pontos, duas coordenadas, e unir esses pontos através de uma reta.
           • • f (x) = 2x – 1:
             • Essa função também pode ser escrita dessa forma: y = 2x – 1.
               • Para determinarmos os dois pontos onde a função do primeiro grau passa atribuímos alguns valores para x e obtemos o y correspondente.
                 • Se o x for 1: y = 2 . 1 – 1 = 1
                 • Se o x for -1: y = 2 . (-1) – 1 = -3
                 • Colocando esses pontos no plano cartesiano fica:
           • • y = - x + 2
             • Faz-se a mesma coisa que no exemplo anterior.
               • Se o x for 1: y = 0 + 2 = 2
                 • Se o x for -1: y = - 1 + 2 - 1

4. Coeficientes da função afim (função do 1° grau):

   • Seja a função f (x) = ax + b
     • a = é o coeficiente angular
       • b = é o coeficiente linear
         • Exemplos: identificar os coeficientes
           • f (x) = 5x – 2 (coeficiente angular ou a = 5; coeficiente linear ou b = -2)
           • y = 4 – 2x (coeficiente angular ou a = -2 ; coeficiente linear ou b = -4)
           • Significado dos coeficientes:
             • Coeficiente Angular
               • Ele está ligado com a inclinação da reta.
                 • Ele é a divisão entre o Δy e o Δx. O delta (Δ) é a variação o no y e no x.
                   • Duas maneiras para determina-lo:
                     • 1° graficamente:
                       • Observa-se que a reta é crescente, então o a > 0.
                         • Para saber qual é o valor do coeficiente angular usa-se a formula:
                           • A linha vertical é o Δy, é a variação no eixo y entre os 2 pontos representados.
                           • A linha horizontal é o Δx, , é a variação no eixo x entre os 2 pontos representados.
                           • A divisão entre Δy e Δx é o coeficiente angular (a).
                       • Nesse exemplo o Δy é 4 e o Δx é 2.
                         • O Δy é 2, porque ele está variando 2 quadradinhos.
                           • O Δx é 1, porque ele está variando 1 quadradinho
                             • Calculando o coeficiente angular:
                               • O resultado do coeficiente angular dessas diferentes coordenadas foi o mesmo, pois não importa quais os dois pontos escolhidos.
                                 • O Δy é 4, porque ele está variando 4 quadradinhos.
                                   • O Δx é 2, porque ele está variando 2 quadradinhos.
                     • 2° tendo apenas as coordenadas de 2 pontos:
                       • Usa-se essa fórmula:
                         • O x1 é o primeiro número da coordenada P, ou seja, é o 0.
                           • O x2 é o primeiro número da coordenada Q, ou seja, é o 2.
                             • O y1 é o segundo número da coordenada P, ou seja, é o 3.
                               • O y2 é o segundo número da coordenada Q, ou seja, é o - 1.
                                 • O resultado do coeficiente angular é negativo, isso significa que a reta é decrescente.
             • Coeficiente Linear:
               • f (x) = ax + b
                 • Ele é exatamente onde a reta corta o eixo y.
                   • Ele é o b, o termo independente.
                     • Se o b está na parte superior do eixo y ele é um valor positivo, b > 0.
                       • Se o b está na parte inferior do eixo y ele é um valor negativo, b < 0.

5. Zero ou Raiz da função do primeiro grau ou função afim:

   • Chama-se zero ou raiz da função do primeiro grau f (x) = ax + b o número real x tal que f (x) = 0. Para descobrir a raiz dessa função basta resolver a equação ax + b = 0.
     • Exemplos:
       • 1- O zero da função f (x) = 3x + 2
         • Se iguala o f (x) a 0:
           • Então o 0 dessa função é (-2)/3.
             • 2- A raiz da função y = 2x – 6
               • Se iguala o y a 0:
                 • Então a raiz dessa função é 3.
                   • Interpretação geométrica através do gráfico:
                     • Geometricamente, o zero de uma função afim f (x) = ax + b é o valor de x onde o gráfico intersecta (cruza) o eixo x.
                       • Exemplo: f (x) = 2x – 5
                         • f (1) = 2 (1) – 5
                           • f (1) = -3
                           • f (3) = 2 (3) – 5
                             • f (3) = 1
                             • Para descobrir qual é o valor do zero dessa função iguala-se o f (x) a 0.
                               • 2x – 5 = 0
                                 • 2x = 5
                                   • x = 5/2
                                     • x = 2,5

6. Estudo do Sinal da Função do 1° grau:

   • Estudar o sinal da função consiste em determinar os valores de x para os quais: f(x) > 0, f (x) < 0 e f (x) = 0.
     • Se f(x) menor que 0 (> 0) a função é positiva, o gráfico está na parte superior do eixo x.
       • Se f(x) maior que 0 (< 0) a função é negativa, o gráfico está na parte inferior do eixo x.
         • Se f(x) é igual a 0 a função igual a 0.
           • Na função f (x) = ax + b dois casos são possíveis:
             • 1° Se o a for maior que 0 (> 0), ou seja, se o coeficiente angular for positivo. Isso representa uma função crescente.
               • O r é o zero da função.
                 • Quando x for exatamente igual r 0 a função será igual a 0. f (x) = 0 → x = r
                   • Quando x for maior que r a função será positiva. f (x) > 0 → x > r
                     • Quando x for menor que r a função será negativa. f (x) < 0 → x < r
                       • Dispositivo prático:
                         • Quando o coeficiente angular for positivo a reta é crescente. E para os valores de x maiores do que a raiz a função é positiva e para valores de x menores do que a raiz a função é negativa.
                           • 2° Se o a for menor que 0 (< 0), ou seja, se o coeficiente angular for negativo. Isso representa uma função decrescente.
                             • O r é o zero da função.
                               • Quando x for exatamente igual r 0 a função será igual a 0. f (x) = 0 → x = r
                                 • Quando x for menor que r a função será positiva. f (x) > 0 → x > r
                                   • Quando x for maior que r a função será negativa. f (x) < 0 → x < r
                                     • Dispositivo prático:
                                       • Quando o coeficiente angular for negativo a reta é decrescente. E para os valores de x menores do que a raiz a função é positiva e para valores de x maiores do que a raiz a função é negativa
                                         • Exemplos:
                                           • 1- Estudar o sinal das seguintes funções:
                                             • f (x) = 2x – 1
                                               • O coeficiente angular é o 2, ele é positivo e isso caracteriza uma função crescente. Para descobrir a raiz dessa função (onde o gráfico cruza o x) igualamos o f(x) a 0:
                                                 • No lado direito estão os valores positivos.
                                                   • No lado direito estão os valores positivos.
                                                     • Quando o x for maior do que 1/2 o x será positivo.
                                                       • Quando o x for menor do que 1/2 o x será negativo.
                                                         • y = -3x + 5
                                                           • O coeficiente angular é o -3, ele é negativo e isso caracteriza uma função decrescente.
                                                             • Para descobrir a raiz dessa função (onde o gráfico cruza o x) igualamos o f(x) a 0:
                                                               • No lado esquerdo estão os valores positivos.
                                                                 • No lado direito estão os valores negativos.
                                                                   • Quando o x for menor do que 5/3 o x será positivo.
                                                                     • Quando o x for maior do que 5/3 o x será negativo.

7. Casos particulares importantes da função afim f (x) = ax + b:

   • 1° Função Identidade:
     • Representada por f (x) = x ou por y = x
       • O coeficiente angular (a) é 1.
         • O coeficiente linear (b) é 0.
           • f (x) = 1x + 0
             • Representada por uma reta crescente passando pela origem.
               • O nome função identidade é dado pois qualquer ponto no plano cartesiano vai ter o y e o com o mesmo valor.
                 • A reta que representa a função identidade também é chamada de bissetriz dos quadrantes impares.
   • 2° Função Linear:
     • Representada por f (x) = ax
       • O coeficiente angular (a) pode ser qualquer valor dos números reais (R) com exceção do 0.
         • O coeficiente linear (b) é 0.
           • Por ter o coeficiente linear igual a 0 a reata dessa função sempre vai cruzar a origem.
             • Se o coeficiente angular (a) for positivo a reta será crescente.
               • Se o coeficiente angular (a) for negativo a reta será decrescente.
                 • Na 1° imagem a função é f (x) = 2x, pois a reta é crescente e a variação do y é 2 e do x é 1, fazendo a equação
                   • a resposta é 2.
                     • Na 2° imagem função é f (x) = -3x, pois a reta é decrescente e a variação do y é 3 e do x é 1, fazendo a equação
                       • a resposta é -3.
   • 3° Função Constante:
     • Representada por f (x) = b ou pro y = b ou ainda por f (x) = 0x + b
       • O coeficiente angular (a) é 0.
         • O coeficiente linear (b) pode ser qualquer número dos reais (R).
           • A função não é nem crescente nem decrescente ela é uma função constante, ou seja, é uma linha horizontal cruzando o eixo y exatamente no coeficiente linear.

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