Mindmap

Função Quadrática ou função do 2° grau

Vivi 0555 Portugiesisch

Inhalt der Mindmap

Definição: uma função f: R → R chama-se quadrática existem números reais a, b e c, com a ≠ 0, tal que
- para todo x ∈ R.
- Os coeficientes são o a o b e o c.
  - Exemplos:
    - a = 3 b = - 4 c = 2
      - a = 1 b = 3 c = 0
        a = 1 b = 0 c = - 5
        a = -2 b = 0 c = 0
Gráfico da função quadrática
- O gráfico de uma função quadrática,
  - com o a ≠ 0, é uma curva chamada de parábola.
    - Exemplos:
      - Representando esses pontos no plano cartesiano fica:
Zero, raízes e fórmula de bhaskara:
- Zeros da função quadrática:
  - Chama-se zero ou raiz do 2° grau
    - o numeral real x tal que f (x) = 0.
      - Basta resolver a equação
    - Os zeros da função quadrática são dados pela chamada fórmula de Bhaskara:
      - Exemplos:
        Determine os zeros das funções:
        Para determinar o zero igualamos o f (x) a 0.
        Fazendo a Bhaskara:
        Se pegarmos o 3 e substituirmos na função o resultado vai ser 0.
        Exemplos 2 e 3.
        O a NUNCA pode ser igual a 0, pois o termo x ao quadrado seria cancelado.
        Já o b e o c podem ser igual a 0. E se um deles ou os 2 forem igual 0 haverá uma função do 2° grau incompleta.
        Determinação dos zeros quando a função quadrática estiver incompleta:
        Exemplos:
        O b é 0.
        Para descobrir o zero o f (x) tem de ser igualado a 0.
        O b é 0.
        Para descobrir o zero o f (x) tem de ser igualado a 0.
        O c é 0.
        Para descobrir o zero o f (x) tem de ser igualado a 0.
        Coloca-se o x em evidencia.
        Determinação dos zeros através da soma e produto: (essa é outra forma de resolver, não é obrigatória)
        Exemplos:
        Determine os zeros das funções:
        Para descobrir as raízes é melhor começar sempre pela multiplicação.
Gráfico da função quadrática:
- Efeito dos parâmetros a, b e c na parábola que representa a função quadrática
  - 1. Parâmetro a:
    - a
      - a > 0 (positivo) → Concavidade para cima
        a < 0 (negativo) → Concavidade para baixo
        2. Parâmetro b
        b
        Indica se a parábola intersecta o eixo y crescendo ou decrescendo
        b > 0 (positivo) → intersecta o eixo y crescendo
        b < 0 (negativo) → intersecta o eixo y decrescendo
        b = 0 → intersecta o eixo y reto
        3. Parâmetro c:
        c
        Indica o ponto onde a parábola intersecta o eixo y. O ponto é o valor c.
        c > 0 (positivo) → intersecta o eixo y na parte positiva
        c < 0 (negativo) → intersecta o eixo y na parte negativa
        c = 0 → intersecta o eixo y na origem (0).
        Intersecção com o eixo x (zeros):
        Dependendo do valor do Δ existem três possibilidades:
        1. Δ > 0 (positivo): duas raízes reais distintas
        A parábola cruza o eixo x em dois pontos diferentes.
        2. Δ = 0: duas raízes reais e iguais (raiz dupla)
        A parábola apenas tangencia o eixo x, só cruza um único ponto.
        3. Δ < 0 (negativo): nenhuma raiz real
        A parábola nem encosta no eixo x.
        Exemplo:
        Esboce o gráfico da função quadrática
        a = 1 b = - 11 c = 30
        A concavidade é voltada para cima, pois o valor do a é 1 e um é positivo.
        O ponto que intersecta o eixo y é o valor de c, ou seja, 30.
        O gráfico está cruzando o eixo y na descendente, pois o b é negativo (-11).
        Por o Δ ser um valor positivo há duas raízes reais distintas, nesse caso o 5 e o 6.
        Vértice da parábola:
        Vértice = ponto. As coordenadas do vértice são fornecidas por:
        Exemplo:
        Determine o vértice da parábola dada pela função
        Primero vamos calcular o x do vértice dessa função:
        As coordenadas do vértice são 2 e -4. V (2, -4)
        Para poder descobrir o gráfico da função temos de saber as raízes. Então igualamos a função a 0.
        O a é positivo, então a concavidade é voltada para cima.
        A linha que passa bem no meio da parábola se chama eixo de simetria, esse eixo divide a parábola em 2 lados um lado é decrescente o outro lado é crescente.
        Para descobrir o x do vértice tirando a média das duas raízes
        Também é possível encontrar o y do vértice sem utilizar a fórmula. É só substituir o valor do xv e substituir no x da função:
        Valo máximo e valor mínimo:
        Exemplo:
        Determine os zeros, o vértice e o valor máximo (ou mínimo) da parábola dada pela função:
        Construa o gráfico.
        Primero descobrir o zero:
        Agora calculando o vértice:
        O valor do a é negativo então a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
        Valor mínimo ou máximo: essa parábola tem valor máximo
        O valor máximo é o valor y, então nesse caso é 9.
        O valor mínimo é até onde as pontas vão e no caso elas vão até o -∞.
        Imagem:
        O conjunto imagem da função
        a ≠ 0 é o conjunto dos valores que y pode assumir.
        a > 0 (a positivo) – concavidade voltada para cima:
        A imagem da função é: Im (f) = {y ∈ R / y ≤ yv}
        Exemplo:
        Determine os zeros, o vértice, o valor máximo (ou mínimo) e a imagem da parábola dada pela função
        Construa o gráfico.
        Primeiro descobrir o zero:
        As raízes serão:
        Agora o gráfico:
        O valor do a é positivo então a parábola tem a concavidade voltada para cima.
        Agora calculando o vértice:
        Valor mínimo ou máximo: essa parábola tem valor mínimo, não tem máximo pois ela via até o + ∞;
        O valor mínimo é y = (-1)/4
        A imagem da função é: Im (f) = {y ∈ R / y ≤ yv}
Quantidade de raízes reais:
- A quantidade de uma função quadrática dependente do valor obtido para o radicando
  - chamado discriminante.
    - Se Δ > 0 (positivo) há duas raízes reais distintas;
      - Se Δ = 0 há duas raízes reais iguais (raiz dupla);
        Se Δ< 0 (negativo) não há raiz real (duas raízes complexas);
        Exemplos:
        Determine, se existirem, os zeros das funções:
        -23 < 0 então NÃO HÁ RAIZES REIAS
Estudo do sinal da função do 2° grau:
- Estudar o sinal da função consiste em determinar os valores de x para os quais f (x) > 0 (positiva), f (x) < 0 (negativa) e f (x) = 0.
  - O estudo do sinal da função quadrática vai depender do discriminante:
    - Podem ocorrer 3 casos:
      - 1° caso: Δ> 0 (positivo): há duas raízes e distintas
        Se o a > 0 (a positivo): parábola com a concavidade para cima
        Na parte de cima do eixo x ficam os valores positivos e na parte de baixo os valores negativos:
        f (x) = 0 → x = x1 ou x = x2
        f (x) > 0 → x < x1 ou x > x2
        f (x) < 0 → x1 < x < x2
        Se o a < 0 (a negativo): parábola com a concavidade para baixo
        Na parte de cima do eixo x ficam os valores positivos e na parte de baixo os valores negativos:
        f (x) = 0 → x = x1 ou x = x2
        f (x) > 0 → x1 < x < x2
        f (x) < 0 → x < x1 ou x > x2
        2° caso: Δ = 0: há duas raízes reais e iguais (raiz dupla)
        Se o a > 0 (a positivo): parábola com a concavidade para cima
        Na parte de cima do eixo x ficam os valores positivos e na parte de baixo os valores negativos:
        f (x) = 0 → x = x1 = x2
        f (x) > 0 → x ≠ x1
        Se o a < 0 (a negativo): parábola com a concavidade para baixa
        Na parte de cima do eixo x ficam os valores positivos e na parte de baixo os valores negativos:
        f (x) = 0 → x = x1 = x2
        f (x) < 0 → x ≠ x1
        3° caso: Δ < 0 (negativo): não há raízes reais (raiz complexas)
        Se o a > 0 (a positivo): parábola com a concavidade para cima
        Na parte de cima do eixo x ficam os valores positivos e na parte de baixo os valores negativos:
        f (x) > 0 → x R
        Se o a < 0 (a negativo): parábola com a concavidade para baixo
        Na parte de cima do eixo x ficam os valores positivos e na parte de baixo os valores negativos:
        f (x) < 0 → x ∈ R
        Exemplo:
        Estudar o sinal da função:
        Primeiro calcular o Δ:
        Para encontrar a raiz fazemos a fórmula de bhasckara:
        Como o a é positivo a concavidade é voltada para cima.
        A parábola cruza o eixo x em 2 pontos.
        f (x) = 0 → x = -1 ou x = 4
        f (x) > 0 → x < -1 ou x > 4
        f (x) < 0 → -1 < x < 4

Bilder und Dateien der Mindmap

Informationen

Beschreibung: Mindmap am Função Quadrática ou função do 2° grau, erstellt von Vivi 0555 am 11/09/2020.
Erstellt von: Vivi 0555
Aufrufe: 0
Bewertung

Função Quadrática ou função do 2° grau

Inhalt der Mindmap

Bilder und Dateien der Mindmap

Informationen

Feedback

Wie gefällt dir das neue Design?