Transformada Z

Transformada Z

1. Quien hizo la transformada z

   • Lotfi Zadeh también se le atribuye, junto con John R. Ragazzini , en 1952, la que fue pionera en el desarrollo de la transformada z, método de procesamiento de señales discretas de tiempo y análisis.

2. Que es la transformada Z?

   • En matemáticas y en el procesamiento de señales, la transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja. El nombre de transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.

3. Transformada Z inversa

   • La Transformada Z inversa se define
     • • donde C es un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de convergencia (ROC). El contorno, C , debe contener todos los polos de X(z). Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando C es el círculo unidad (que también puede usarse cuando la ROC incluye el círculo unidad), obtenemos la transformada inversa de tiempo discreto de Fourier:
         • • La TZ con un rango finito de n y un número finito de z separadas de forma uniforme puede ser procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein. La transformada discreta de Fourier (DFT) es un caso especial de la TZ, y se obtiene limitando z para que coincida con el círculo unidad.

4. Región de convergencia (ROC)

   • La región de convergencia, también conocida como ROC, define la región donde la transformada-z existe. La ROC es una región del plano complejo donde la TZ de una señal tiene una suma finita. La ROC para una x[n] es definida como el rango de z para la cual la transformada-z converge. Ya que la transformada–z es una serie de potencia, converge cuando x[n]z es absolutamente sumable.
     • • Propiedades de la Región de Convergencia
         • La región de convergencia tiene propiedades que dependen de las características de la señal, x[n]. La ROC no tiene que contener algún polo. Por definición un polo es donde x[z] es infinito. Ya que x[z] tiene que ser finita para todas las z para tener convergencia, no puede existir ningún polo para ROC. Si x[n] es una secuencia de duración finita, entonces la ROC es todo el plano-z, excepto en |z|=0 o |z|=∞. Si x[n] es una secuencia del lado derecho entonces la ROC se extiende hacia fuera en el último polo desde x[z]. Si x[n] es una secuencia del lado izquierdo, entonces la ROC se extiende hacia dentro desde el polo más cercano en x[z]. Si x[n] es una secuencia con dos lados, la ROC va ser un anillo en el plano-z que está restringida en su interior y exterior por un polo.

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