Potencial eléctrico

Potencial eléctrico

1. Diferencia de potencial

   • La fuerza eléctrica que se ejercen dos cargas puntuales está dirigida a lo largo de la línea que une las dos cargas y depende de la inversa del cuadrado de su separación. En general, cuando el punto de la aplicación de una fuerza conservativa F experimenta un desplazamiento l, la variación de la función energía de potencial U viene definida por:
     • Cuando la carga experimenta un desplazamiento l, en un campo eléctrico E, la variación de energía potencial electrostática es
     • se dice que la fuerza electrostática ejercida sobre una carga "testigo", q0, es proporcional a dicha carga, y esta fuerza ejercida por unidad de carga se denomina campo eléctrico. La variación de energía potencial es proporcional a la carga testigo q0. La variación de energía potencial por unidad de carga se denomina diferencia de potencial dV
       • Para un desplazamiento finito desde el punto a al punto b, el cambio de potencial es
     • La V se denomina potencial eléctrico. Tenemos la libertad de elegir el potencial de tal modo que sea cero en el punto que más nos convenga, lo mismo que haciamos con la energía potencial. Si el potencial eléctrico y la energía potencial de una carga testigo se eligen de modo que sean iguales a cero en el mismo punto, ambas magnitudes están relacionadas por
   • Continuidad de V
     • La función potencial es continua en todos los puntos del espacio, excepto en aquellos puntos en que el campo eléctrico es infinito (puntos en los que existe una carga puntual o una línea de carga).
   • Unidades
     • Como el potencial eléctrico es la energía potencial electrostática por unidad de carga:
     • Se observa que las dimensiones del potencial son también las mismas que las del campo eléctrico por unidad de distancia. Así pues, la unidad de campo eléctrico es igual a volt por metro.
     • Como la energía tiene dimensiones del producto de carga eléctrica por potencial eléctrico, una unidad de energía que resulta útil es el producto de la unidad de carga elemental e por un volt. A esto s le llama electrovolt.
   • Potencial y líneas de campo eléctrico
     • Si situamos una carga testigo positiva q0 en un campo eléctrico E y la dejamos en libertad, se acelerará en la dirección de E a lo largo de la línea de campo. así la energía potencial disminuirá y la energía cinética aumentará. La energía potencial eléctrica U se relaciona con el potencial eléctrico V mediante una expresión, de tal forma que para una carga positiva, la región del espacio en la que existe menor energía potencial es también en la que existe menor potencial eléctrico.

2. Potencial debido a un sistema de cargas puntuales

   • El potencial eléctrico a una distancia r de una carga puntual q situada en el origen puede calcularse a partir de la ecuación
     • • Donde el punto de referencia tiene un potencial Vref y P es el punto de arbitrario en el que se calcula el potencial
   • El campo eléctrico debido a una carga puntual es:
     • • Sustituyendo la expresión de E en la integral, se obtiene:
         • • Donde dr=^r.dl es el módulo del desplazamiento dl. poniendo Vref igual a cero e integrando tenemos que:
   • El potencial de coulomb es positivo o negativo dependiendo del valor de la carga q
   • La energia potencial U de una carga testigo q' situada a la distancia de r de la carga q es:
   • El potencial en un punto debido a diversas cargas puntuales es igual a la suma de los potenciales debidos a cada carga por separado. Por tanto, será:
     • • donde la suma debe extenderse a todas las cargas y ri es la distancia desde la carga i al punto P donde deseamos calcular el potencial. Usando esta fórmula, el punto de referencia para el potencial (V=0) es el infinito y la distancia entre dos cargas puntuales cualesquiera en el sistema es finita

3. Determinación del campo eléctrico a partir del potencial

   • La variación del potencial viene dado por
     • • Si el desplazamiento dl es perpendicular a E, entonces dV=0.
         • Para un determinado valor de |dl|, el maximo crecimiento en V se produce cuando el desplazamiento dl es en el sentido opuesto (igual dirección) a E.
           • • Donde Etan=cos(teta). Es la componente de E en la dirección de dl. Por lo tanto, se tiene
               • • Un vector que señala en la dirección de la máxima variación de una función escalar y cuyo módulo es igual a la derivada de la función con respecto a la distancia en dicha dirección, se nomina GRADIANTE de la función.
                   • El campo eléctrico E es opuesto al gradiante del potencial V. Si el potencial V depende solo de x, no habrá cambios en V para los desplazamientos en las direcciones y o z y, por tanto, Ey y Ez son nulos
   • Para la distribución de carga esféricamente simetrica, el potencial puede ser una función exclusiva de la distancia radial r. Los desplazamientos perpendiculares a la dirección radial no producen cambio en V(r) y, por tanto, el campo eléctrico debe ser radial. un desplazamiento en dirección radial se expresa en la forma dl=drr^
     • Si conocemos el potencial o el campo eléctrico en una región del espacio, podemos utilizar una de esas magnitudes para calcular la otra.
   • Relación general entre E y V
     • En notación vectorial, el gradiante de V se escribe
     • En general, la función potencial puede depender de x, y y z.
       • así tenemos que

4. Cálculo de V para distribuciones continuas de carga

   • El potencial debido a una continua distribución continua de carga puede calcularse eligiendo un elemento de carga dq que puede considerarse como una carga puntual, y tomando en consideración el principio de superposición, el potencial debido a la distribución se obtiene convirtiendo el sumatorio de la educación
     • • Esta ecuación supone que V=0 a una distancia infinita de las cargas y, por lo tanto, no puede utilizarse cuando la carga de encuentra en el infinito, como ocurre en el caso de las distribuciones artificiales de carga, tales como una carga lineal infinita o un plano de cargo infinito.
     • Potencial V en el eje de un anillo cargado
       • Consideramos un anillo uniformemente cargado de radio a y carga Q. Sea dq un elemento de carga del anillo. La distancia desde este elemento de carga al punto del campo P situado sobre el eje del anillo es la raiz de la suma de los cuadrados de z y a. Como esta distancia es la misma para todos los elementos de carga del anillo. El potencial en el punto P debido al anillo es:
     • Potencial V en el eje de un disco uniformemente cargado
       • Utilizaremos ahora el resultado obtenido para el potencial generado en el eje de un anillo cargado para calcular el potencial existe en el eje de un disco uniformemente cargado
     • Potecial V debido a un plano infinito de carga
       • Si R se aproxima a infinito, la función potencial V se aproxima también a infinito. Sin embargo otras ecuaciones se obtuvieron a partir de V=0 en el infinito y, por tanto no pueden ser utilizadas por haber llegado a una contradicción. Para estos casos, determinamos en primer lugar el campo eléctrico E y luego calculamos el potencial a partir de su definición, dV=-Edl. Si se trata de un plano infinito de carga uniforme de densidad fi situado en el plano yz, el campo eléctrico para valores positivos de x viene dado por:
         • • El incremento de potencial dV para un incremento de desplazamiento dl=dxi+dyj+dzk
             • • Integrando
         • Para un valor negativo de x , el campo es:
           • • y el potencial
     • Potencial V en el interior y en el exterior de una corteza esférica cargada

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