Geometria Espacial

Geometria Espacial

1. Conceitos primitivos

   • Ponto
     • É admensional, onde sua unica propriedade é a localização (x,y).
   • Reta
     • É um conjunto de pontos, que pode ser infinito para ambos os lados e determina a distância mais curta entre 2 pontos. Postulado da determinação: dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.
     • Linha
       • Parecida com a reta, porem tem a propriedade de formar curvas e nós sobre si mesma.
     • Semirreta
       • É um ponto que divide uma reta em duas semirretas. Elas possuem início, mas não apresentam um fim, ou seja, elas são ilimitadas num dos sentidos
   • Plano
     • É uma estrutura que se estende em todas as direções, pois é um conjunto de retas alinhadas. São duas dimensões envolvidas. Postulado: 3 pontos não colineares ou uma reta e um ponto fora dela, determinam um único plano que passa por eles.
   • Espaço
     • É formado pelo alinhamento de planos que são colocados lado a lado até preencher o espaço. É infinito para todas as direções, inclusive a terceira dimensão.

2. Paralelismo

   • É um estudo de posições relativas entre retas e planos.
   • Retas paralelas
     • Duas retas são paralelas quando estão contidas no mesmo plano e não há ponto em comum entre elas. São representadas por duas linhas distintas com mesma direção e sentido.
   • Reta paralela ao plano
     • Considere uma reta r fora do plano α. Se existir uma reta pertencente a esse plano paralela a r, então, r será paralela ao plano α.
   • Planos paralelos
     • Dois planos são paralelos quando não possuem ponto em comum. - quando 2 planos são paralelos, qualquer reta de um deles é paralela ao outro; - se uma reta é secante a um dos dois planos, é secante ao outro também; - se um plano contem 2 retas concorrentes, ambas paralelas a um segundo plano, esses planos são paralelos; - quando dois planos paralelos são cortados por um terceiro plano, as intersecções entre os planos paralelos e o plano secante são retas paralelas.

3. Perpendicularismo

   • Uma reta r é perpendicular a um plano alfa se, e somente se, r é perpendicular a todas as retas de  que passam pelo ponto de intersecção de r e .

4. Posições relativas

   • Retas
     • Coplanares: mesmo plano Concorrentes - único ponto em comum - perpendiculares: forma ângulo reto entre si - oblíquas: não formam ângulo reto Paralelas  - distintas: não possuem pontos em comum - coincidentes: possuem todos os pontos em comum Reversas: não pertencem ao mesmo plano - ortogonais: formam ângulo reto entre si - não ortogonais: não formam ângulo reto entre si
   • Planos
     • Secantes: possuem uma única reta em comum. - perpendiculares: baseia-se em uma única reta perpendicular a um plano. Paralelos - distintos: não possuem pontos em comum - coincidentes: todos os pontos em comum

5. Prismas Regulares

   • Possui duas faces poligonais opostas, paralelas e congruentes, que são as bases de polígonos regulares. Separadas por uma face de determina a altura. Alateral = n de lados * Aface lateral Atotal = Alateral + 2*Abase Volume = Abase*h
   • Prisma reto
     • É dito reto quando as arestas laterais forem perpendiculares às bases (as faces serão retangulares).
   • Prisma oblíquo
     • Quando as arestas laterais não são perpendiculares às bases.
   • Classificação
     • Os primas são classificados de acordo com os formatos das bases: - prisma triangular: base formada por um triângulo -prisma pentagonal: base formada por um pentágono

6. Pirâmides Regulares

   • É uma figura que possui uma base de polígono e faces laterais em forma de triângulos. É regular quando a base for um polígono regular. Atotal = Alateral + Abase Volume = 1/3 * Abase * h
   • Pirâmide reta
     • É reta quando todas as faces laterais forem triângulos iguais, a projeção do vértice da pirâmide coincide com o centro geométrico da base.
   • Pirâmide oblíquo
     • Os triângulos que formam as faces laterais são diferentes entre si e a projeção do vértice sobre a base não coincide com o centro geométrico.
   • Tronco de pirâmide
     • É obtido de uma pirâmide regular em que as arestas laterais são congruentes, as bases são semelhantes e regulares, todas as faces laterais são formadas por trapézios isósceles e altura de uma face lateral é chamada de apótema. Alateral = n*Alateral Atotal = A1 + A2 + Alateral A1 - base maior A2 - base menor Volume = h/3 * ( A1 + √[A1·A2] + A2)

7. Poliedro

   • Sólidos geométricos limitados por um número finitos de polígonos planos. A intersecção de duas faces é chamada de aresta e o ponto em comum de 3 ou mais arestas é chamado vértice. Convexo - verificar que qualquer reta não contida em nenhuma das face e nem paralela a elas, corta os planos das faces em, no máximo, dois pontos. Não convexo - uma reta corta mais de duas faces de um poliedro.
   • Teorema de Euler
     • É válido para poliedros convexos e não convexo para estabelecer o número de faces, vértices e arestas: F + V = 2 + A F: número de faces V: número de vértices A: número de arestas Quando a relação é válida são chamados eulerianos.
   • Regulares
     • Suas faces são compostas por polígonos regulares e congruentes entre si. Os ângulos e lados são congruentes. São 5 os regulares convexos: - tetraedro: 4 vértices, 4 faces e 6 arestas - hexaedro: 8 vértices, 6 faces e 12 arestas - octaedro: 6 vértices, 8 faces e 12 arestas - dodecaedro: 20 vértices, 12 faces e 30 arestas - icosaedro: 12 vértices, 20 faces e 30 arestas

8. Corpos redondos

   • São figuras que possuem superfícies curvas.
   • Cone
     • É um sólido de revolução com um círculo na base construído a partir da rotação de um triângulo. Abase = pi*r^2 Alateral = pi * r * g geratriz = √ r^2 + h^2 Atotal = pi * r (g +r) Volume = ( pi * h * r^2) / 3
     • Tronco de cone
       • É um corte de um cone por um plano paralelo à base. A1=base menor A1 = pi * r^2 A2=base maior A2 = pi * R^2 Atotal = alateral + A1 +A2 Volume = 1/3 * pi * h (r^2 + r*R + R^2)
   • Cilindro
     • É a rotação de um retângulo. Alateral = 2*pi*r*h Abase = pi * r^2 Atotal = Al + 2*Ab Volume = Ab * h
   • Esfera
     • É o resultado da rotação de um círculo em torno de seu diâmetro. A = 4*pi*r^2 V=4/3 * pi * r^3
     • Calota da esfera
       • Pode ser considerada como "tampa de uma laranja" A = 2*pi*r*h V = ((pi * h^2)/3) * (3*r - h)
     • Fuso
       • É como o gomo de uma laranja. A = (alfa/360) * 4*pi*r^2

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