Números Complexos

Números Complexos

1. Conceito: Os números complexos surgem da necessidade de resolver equações com raízes negativas, antes disso, eles não podiam ser resolvidos com números reais. Os números complexos podem ser expressos de três maneiras: forma algébrica (z = a + bi), consistindo em uma parte real a e uma parte imaginária b; forma geométrica, expressa em um plano complexo, também chamado de plano de Argand-Gauss; e sua forma triangular, também é chamada de forma de coordenadas polares. De acordo com sua representação, quando lidamos com um conjunto de valores, os números complexos têm operações bem definidas: adição, subtração, multiplicação, divisão e aprimoramento.

2. O conjunto dos números complexos é indicado por C e definido pelas operações: Igualdade: (a, b) = (c, d) ↔ a = c e b = d Adição: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d) Multiplicação: (a, b) . (c, d) = (ac – bd, ad + bc) Subtração (a + bi) – (c + di) = (a – c) + i (b – d) Divisão a + bi = (c + di) . (x + yi) a + bi = (cx – dy) + i (cy + dx)

3. Indicado pela letra i, a unidade imaginária é o par ordenado (0, 1). Logo: i . i = –1 ↔ i2 = –1 Assim, i é a raiz quadrada de –1.

4. forma algébrica: z = a + bi. forma trigonométrica: Z = |Z| . ( cos a ) + ( sen b ) i )

5. O conjugado de um número complexo é indicado por z, definido por z = a – bi. Assim, troca-se o sinal de sua parte imaginária. Então, se z = a + bi, logo z = a – bi Quando multiplicamos um número complexo por seu conjugado, o resultado será um número real.

6. O módulo de um número complexo, geometricamente, é a distância do ponto (a,b) que representa esse número no plano complexo até a origem, ou seja, o ponto (0,0). Como podemos perceber, |z| é a hipotenusa do triângulo retângulo, logo, ela pode ser calculada aplicando-se o teorema de Pitágoras, por isso temos que:

7. O plano de Argand-Gauss, conhecido também como plano complexo, é um meio para representar geometricamente números complexos. Os números complexos da forma z = a + bi são representados como coordenadas (a,b),

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