Vibraciones mecánicas

Vibraciones mecánicas

1. VIBRACIONES SIN AMORTIGUAMIENTO

   • VIBRACIONES LIBRES DE PARTÍCULAS. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
     • Considere un cuerpo de masa m unido a un resorte de constante k. Puesto que en el tiempo presente se considera sólo el movimiento de su centro de masa, a este cuerpo se le considerará como una partícula.
       • Cuando la partícula está en equilibrio estático, las fuerzas que actúan sobre ella son su peso W y la fuerza T ejercida por el resorte, de magnitud T =Kestática, donde Sestática denota la elongación del resorte. Por lo tanto, se tiene,
         • Supóngase ahora que la partícula se desplaza a una distancia xm desde su posición de equilibrio y se suelta sin velocidad inicial. Si xm se ha elegido más pequeña que Sestática, la partícula se moverá hacia un lado y otro de su posición de equilibrio; se ha generado una vibración de amplitud xm.
   • PÉNDULO SIMPLE (SOLUCIÓN APROXIMADA)
     • La mayor parte de las vibraciones encontradas en aplicaciones de ingeniería se representan mediante un movimiento armónico simple. Muchas otras, aunque de un tipo diferente, se aproximan por medio de un movimiento armónico simple, siempre que su amplitud permanezca pequeña.
       • Considere, por ejemplo, un péndulo simple, consistente en una plomada de masa m unida a una cuerda de longitud l, que tiene la posibilidad de oscilar en un plano vertical.
         • En un tiempo dado t, la cuerda forma un ángulo 0 con la vertical. Las fuerzas que actúan sobre la plomada son su peso W y la fuerza T ejercida por la cuerda . Al descompensar el vector ma de las componentes tangencial y normal, con mat dirigida hacia la derecha, esto es, en la dirección que corresponde a valores crecientes de 0, y observar que at At=la=l0 , se escribe
   • PÉNDULO SIMPLE (SOLUCIÓN EXACTA)
     • Para obtener una expresión exacta relativa al periodo de las oscilaciones de un péndulo simple, se debe volver a la ecuación (19.16).
       • Multiplicando ambos términos por 20 e integrando desde una posición inicial correspondiente a la máxima desviación, esto es, 0=0m y 0 ˙ = 0, se escribe
         • Si se sustituye cos 0 por 1 - 2 sen2 (0/2) y cos 0m por una expresión similar, resolviendo para dt, y se integra sobre un cuarto de periodo desde t = 0, 0= 0 hasta t = tn/4, 0 = 0m, se tiene

2. VIBRACIONES LIBRES DE CUERPOS RÍGIDOS

   • El análisis de las vibraciones de un cuerpo rígido o de un sistema de cuerpos rígidos que posee un solo grado de libertad es similar al análisis de las vibraciones de una partícula.
     • Una variable apropiada, como una distancia x o un ángulo , se elige para definir la posición del cuerpo o del sistema de cuerpos, y se escribe una ecuación que relacione esta variable y su segunda derivada respecto a t. Si la ecuación obtenida es de la misma forma que la ecuación (19.6), esto es, si se tiene
       • La vibración considerada es un movimiento armónico simple. El periodo y la frecuencia natural de la vibración pueden obtenerse entonces identificando n y sustituyendo su valor en las ecuaciones (19.13) y (19.14).
         • En general, una forma simple de obtener una de las ecuaciones (19.21) consiste en expresar que el sistema de las fuerzas externas es equivalente al sistema de las fuerzas efectivas si se dibuja un diagrama de cuerpo libre para un valor arbitrario de la variable, y se escribe la ecuación de movimiento apropiada.

3. APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

   • El principio de conservación de la energía proporciona una forma conveniente de determinar el periodo de vibración de un cuerpo rígido o de un sistema de cuerpos rígidos que poseen un solo grado de libertad, una vez que se ha establecido que el movimiento del sistema es un movimiento armónico simple o que puede aproximarse mediante un movimiento armónico simple.
     • Al elegir una variable apropiada, como la distancia x o el ángulo , se consideran dos posiciones particulares del sistema: 1. El desplazamiento del sistema es máximo; se tiene T1 = 0, y V1 puede expresarse en términos de la amplitud xm o 0m (al elegir V = 0 en la posición de equilibrio). 2. El sistema pasa por su posición de equilibrio; se tiene V2 = 0, y T2 puede expresarse en términos de la velocidad máxima o la velocidad angular máxima 0 ˙ m.
       • Se expresa entonces que la energía total del sistema se conserva y se escribe T1 0 V1 = T2 = V2.

4. VIBRACIONES FORZADAS

   • Las vibraciones más importantes desde el punto de vista de las aplicaciones de ingeniería son las vibraciones forzadas de un sistema. Éstas ocurren cuando un sistema se sujeta a una fuerza periódica o cuando se le conecta elásticamente a un soporte que tiene un movimiento alternante.
     • Considere primero el caso de un cuerpo de masa m suspendido de un resorte y sujeto a una fuerza periódica P de magnitud P = Pm sen wf t, donde f es la frecuencia circular de P y se conoce como frecuencia circular forzada del movimiento.
       • Denotando mediante x el desplazamiento del cuerpo medido desde su posición de equilibrio, se escribe la ecuación de movimiento:

5. VIBRACIONES AMORTIGUADAS

   • VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS
     • Los sistemas vibratorios considerados en la primera parte de este capítulo se supusieron libres de amortiguamiento. En realidad, todas las vibraciones se amortiguan en cierto grado gracias a las fuerzas de fricción.
       • Estas fuerzas pueden deberse a fricción seca o a fricción de Coulomb, entre cuerpos rígidos, a fricción fluida, cuando un cuerpo rígido se mueve en un fluido, o a fricción interna entre las moléculas de un cuerpo aparentemente elástico.
         • Un tipo de amortiguamiento de interés especial es el amortiguamiento viscoso ocasionado por fricción o rozamiento de un fluido a velocidades bajas y moderadas
           • El amortiguamiento viscoso se caracteriza por el hecho de que la fuerza de fricción es directamente proporcional y opuesta a la velocidad del cuerpo en movimiento.
   • VIBRACIONES FORZADAS AMORTIGUADAS
     • Si el sistema considerado en la sección anterior está sujeto a una fuerza periódica P de magnitud P = Pm sen f t, la ecuación de movimiento se convierte en
       • La solución general de (19.47) se obtiene al sumar una solución particular de (19.47) a la función complementaria o solución general de la ecuación homogénea.
         • La función complementaria está dada por (19.42), (19.43) o (19.44), según el tipo de amortiguamiento considerado. Esto representa un movimiento transitorio que finalmente se amortigua.
           • El interés en esta sección se centra en la vibración de estado estable representada por una solución particular de (19.47) de la forma

6. ANALOGÍAS ELÉCTRICAS

   • Los circuitos eléctricos oscilantes se caracterizan por ecuaciones diferenciales del mismo tipo que las que se obtienen en las secciones precedentes.
     • Por lo tanto, su análisis es similar al de un sistema mecánico, y los resultados que se obtienen para un sistema vibratorio dado pueden extenderse de inmediato al circuito equivalente.
       • De manera inversa, cualquier resultado obtenido para un circuito eléctrico se aplicará también al sistema mecánico correspondiente.
         • Considere un circuito eléctrico compuesto por un inductor de inductancia L, un resistor de resistencia R y un capacitor de capacitancia C conectado en serie con una fuente de voltaje alterno E
           Em sen wf t
           • De la teoría elemental de circuitos† se sabe que si i denota la corriente en el circuito y q la carga eléctrica en el capacitor, la caída de potencial es L(di/dt) a través del inductor, Ri a través del resistor y q/C a través del capacitor. Al expresar que la suma algebraica del voltaje aplicado y de las caídas de potencial alrededor del circuito cerrado es cero, se escribe
             • Se verifica que la ecuación (19.56), que define las oscilaciones del circuito eléctrico de la figura 19.13, es del mismo tipo que la ecuación (19.47), la cual caracteriza las vibraciones forzadas amortiguadas del sistema mecánico de la figura 19.10. Al comparar las dos ecuaciones, es posible construir una tabla de las expresiones mecánicas y eléctricas análogas.

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