Rango, nulidad, espacio renglón y espacio columna de una matriz.

Rango, nulidad, espacio renglón y espacio columna de una matriz.

1. Rango

   • El rango de una matriz se dice que es el número de filas o columnas,
     • Se dice que si el rango fila y la columna son iguales, este número es llamado simplemente rango de A. se expresa como rg(A)
       • Al igual que el número de columnas independientes de una matriz m por n A es igual a la dimensión del espacio columna de A, como la dimensión del espacio fila determina el rango
       • El rango de A será, por tanto, mayor o igual que uno y menor o igual que el mínimo entre m y n.

2. Nulidad

   • Siendo un teorema del algebra lineal
     • Diciendóse que la dimensión del dominio de una transformación lineal es la suma de su rango con la dimensión de su imagen y dimensión de su kernel

3. Espacio renglón de una matriz

   • Supongamos que A es una matriz de tamaño m ⇥ n.
     • El espacio fila o renglón de A es el subespacio de Rn generado por las filas de A. Este subespacio se denota por Ren(A). Si escribimos la matriz A de la forma
       • Donde decimos que El simbolo R(A) representar a el espacio renglón de A.

4. Espacio columna de una matriz

   • Aquí Sea A una matriz m × n, el espacio columna de A es el conjunto de aquellos vectores de Rm que se pueden expresar como combinaciones lineales de las n columnas de la matriz A.
     • Siendo que Así, el espacio columna de A consiste de aquellos vectores de la forma
       • • Donde x1, x2, . . ., xn son escalares y los vectores a1, a2, . . ., an son las columnas de la matriz A.
           • Donde asi observamos que la fórmula anterior es Ax. De esta observación y de la definición misma del espacio columna
             • Tenemos como teorema que Para cualquier matriz A m × n y vector b en Rm: b está en el espacio columna de A si y sólo si Ax = b es consistente.
               • • Donde tenemos de ejemplo
                   • • Donde se indica si el espacio columna de A incluye al vector b =< 4, −2, −3 >.
                       • veremos si A x = b es consistente, Formamos la matriz aumentada y reduciendo tenemos
                         • • Al ser consistente el sistema, se concluye que b pertenece al espacio columna de A

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