3.2 Poisson.

3.2 Poisson.

1. Distribución de Poisson:

   • En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.
     • Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).

2. Propiedades

   • La función de masa de la distribución de Poisson es
     • • donde:
         • k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).
       • λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
       • e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)

3. Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a λ. Los momentos de orden superior son polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatorio. De hecho, cuando el valor esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n.

   • La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero es igual a \scriptstyle\lfloor \lambda \rfloor, el mayor de los enteros menores que λ (los símbolos \scriptstyle\lfloor \rfloor representan la función parte entera). Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1.
     • La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado λ es
     • Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles. La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de parámetro λ0 a otra de parámetro λ es

Bilder und Dateien der Mindmap