Álgebra lineal

Vectores
1. ¿Qué es un vector?
  1. Definición 1: Es un segmento de una línea recta, dotado de un sentido, es decir, orientado dentro de un plano euclidiano bidimensional o tridimensional. O lo que es lo mismo: un vector es un elemento en un espacio vectorial.
  2. Definición 2: Se llama vector a todo segmento orientado. El primero de los puntos que lo determinan se llama origen y el segundo extremo del vector.
2. Un vector puede representarse en un plano cartesiano mediante un conjunto de coordenadas (x, y), o en uno tridimensional (x, y, z). Los vectores se representan típicamente mediante una flecha dibujada por encima del símbolo empleado.
3. Norma
4. Ángulos directores
  1. Se llaman ángulos directores de un vector, respecto de un sistema de coordenadas ortogonales con origen O y ejes x, y a los ángulos que el vector forma con los semiejes positivos coordinados. Los ángulos se toman entre 0 y π (Pi).
5. Vectores unitarios
  1. Un vector unitario o vector normalizado es un vector que tiene dirección y sentido, no tiene dimensión y su magnitud o módulo es igual a uno.
6. Propiedades de los vectores
  1. La propiedad conmutativa es la propiedad donde el orden de los sumandos no altera la suma. Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, A+B = B+A.
  2. La propiedad asociativa es la propiedad donde la forma de agrupar los vectores no altera la resultante (la suma). Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, (A+B)+C = A+(B+C).
  3. La propiedad distributiva es la propiedad que relaciona la multiplicación y la suma. Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, k(A+B) = kA+kB.
  4. La propiedad del inverso aditivo es la propiedad donde la suma de un vector y su vector opuesto es cero. Sean A y -A dos vectores cualesquiera entonces, A+(-A) = 0.
7. Operaciones básicas con vectores
  1. Suma de vectores
    1. Para sumar dos o más vectores, tendremos que sumar las coordenadas de forma que coincida el eje para cada coordenada de los vectores. La primera coordenada corresponde al eje X y la segunda coordenada corresponde al eje Y. Entonces tendremos que operar las coordenadas que coincidan en eje.
  2. Multiplicación por un escalar
    1. La multiplicación de un vector por un número (escalar) se completa haciendo el producto de dicho número por las coordenadas del vector. El nuevo vector será la multiplicación del vector por el escalar o también puede definirse como un vector nuevo.
  3. Resta de vectores
    1. Para restar dos o más vectores, tendremos que restar las coordenadas de forma que coincida el eje de cada coordenada de los vectores. La primera coordenada corresponde al eje X y la segunda coordenada corresponde al eje Y. Entonces tendremos que operar las coordenadas que coincidan en eje.
8. Vectores canónicos
  1. La base canónica o base usual es una colección de vectores linealmente independientes cuyo número coincide con la dimensión del propio espacio vectorial.
9. Producto punto
  1. El producto punto es una manera fundamental en la que podemos combinar dos vectores. De manera intuitiva, nos dice algo acerca de qué tanto apuntan dos vectores en la misma dirección. Escribimos el producto punto con un pequeño punto ⋅ entre los dos vectores (se pronuncia "a punto b"):
10. Producto cruz
  1. El producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene.
Determinantes
1. Propiedades de los determinantes
  1. Propiedad 1
    1. El determinante del producto de matrices es el producto de sus determinantes:
  2. Propiedad 2
    1. El determinante de una matriz con alguna fila o columna de ceros es 0.
  3. Propiedad 3
    1. Se puede extraer factor común de una fila o columna multiplicando el determinante por el factor.
  4. Propiedad 4
    1. Se puede extraer el mismo factor común de n filas o columnas multiplicando el determinante por el factor elevado a n .
  5. Propiedad 5
    1. Si se cambia el orden de una fila o de una columna, el determinante cambia de signo.
  6. Propiedad 6
    1. Si se cambia el orden de n filas o columnas, el determinante cambia de signo si n es impar.
  7. Propiedad 7
    1. Si una matriz es invertible, el determinante de la inversa es el inverso del determinante:
  8. Propiedad 8
    1. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta:
  9. Propiedad 9
    1. Si una matriz tiene filas o columnas linealmente dependientes, entonces su determinante es 0.
  10. Propiedad 10
    1. El determinante no cambia si se suman filas (o columnas) multiplicadas por números distintos de 0.
  11. Propiedad 11
    1. El determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos de su diagonal.
  12. Propiedad 12
    1. El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal.
Matrices
1. Tipos de matrices
  1. Matriz fila
  2. Matriz columna
  3. Matriz rectangular
  4. Matriz cuadrada
  5. Matriz nula
  6. Matriz triangular superior
  7. Matriz triangular inferior
  8. Matriz diagonal
  9. Matriz escalar
  10. Matriz identidad o unidad
  11. Matriz traspuesta
  12. Matriz regular
  13. Matriz singular
  14. Matriz idempotente
  15. Matriz involutiva
  16. Matriz simétrica
  17. Matriz antisimétrica o hemisimétrica
  18. Matriz ortogonal
2. Operaciones con matrices
  1. Suma y resta
    1. La unión de dos o más matrices solo puede hacerse si dichas matrices tienen la misma dimensión. Cada elemento de las matrices puede sumarse con los elementos que coincidan en posición en diferentes matrices. En el caso de restar dos o más matrices se sigue el mismo procedimiento que usamos para sumar dos o más matrices.
      1. En otras palabras, cuando sumamos o restamos matrices nos vamos a fijar en:
        Las matrices compartan la misma dimensión.
        Sumar o restar los elementos con la misma posición en matrices distintas.
  2. Multiplicación
    1. Generalmente, la multiplicación de matrices cumple la propiedad no conmutativa, es decir, importa el orden de los elementos durante la multiplicación.
      1. Para multiplicar dos matrices necesitamos que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz.
3. Operaciones elementales sobre matrices
  1. Intercambiar líneas (filas o columnas).
  2. Multiplicar una línea por un número real diferente de cero.
  3. Obtener una línea al sumarla a otra multiplicada por un número real diferente de cero.
4. Matriz inversa
  1. El producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad.
  2. Se puede calcular la matriz inversa por dos métodos: El método de Gauss y el método por cálculo de determinantes.

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