LOS DIFERENTES SUBESPACIOS DEL ESPACIO VECTORIAL R3

LOS DIFERENTES SUBESPACIOS DEL ESPACIO VECTORIAL R3

1. Un espacio vectorial ( o lineal ) es un conjunto no vacıo V , cuyos elementos se denominan vectores, en el que hay definidas dos operaciones, suma y multiplicación por escalares ( números reales o complejos ) que satisfacen los siguentes axiomas.

   • Operaciones con subespacios vectoriales: Si U y W son dos subespacios vectoriales de un mismo espacio vectorial V , ya hemos mencionado en una secci´on anterior que U ∩ W es de nuevo un subespacio vectorial de V . Si disponemos de unas ecuaciones impl´ıcitas para U y otras para W, claramente el sistema obtenido al juntar ambos sistemas constituye unas ecuaciones impl´ıcitas para el subespacio U ∩ W. De hecho lo normal es que en dicho sistema ampliado se puedan suprimir algunas ecuaciones que dependan de otras ecuaciones del sistema.

2. En las unidades anteriores vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de matrices presentan similitudes. Pudimos observar que las propiedades de la suma (de vectores o de matrices) y del producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos. En esta unidad, generalizaremos el concepto de vector a partir de estas propiedades en común que hemos señalado para vectores geométricos y matrices.

3. Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas que se dan a continuación. Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores u , v y w en V y todos los escalares α y β reales.

4. De acuerdo con las propiedades que vimos en la primera unidad, podemos afirmar que R 3 es un espacio vectorial. Los espacios R n , con n ≥ 1 , son los ejemplos principales de espacios vectoriales. La intuición geométrica desarrollada para R 3 nos ayudará a entender y visualizar muchos conceptos de esta unidad.

5. PROPIEDADES DE LOS ESPAICIOS VECTORIALES

   • PROPIEDAD NUMERO 1. 0 u = 0 V
   • PROPIEDAD NUMERO 2. α 0 V = 0 V
   • PROPIEDAD NUMERO 3. ( – α ) u = – ( α u ) En particular, para α = 1 : ( – 1 ) u = – u
   • PROPIEDAD NUMERO 4. α u = 0 V ⇒ α = 0 ∨ u = 0 V

6. SUBESPACIOS VECTORIALES: Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V . W es un subespacio de V si W es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en V .

   • CONDICIONES PARA CARACTERIZAR SUBESPACIOS: Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V ( W ⊆ V ) . W es subespacio de V si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones: a. 0 V está en W . b. Si u y v están en W , entonces u + v está en W . c. Si u está en W y k es un escalar, k u está en W .
   • SUBESPACIOS TRIVIALES: Si V es un espacio vectorial, entonces V es un subespacio de sí mismo. 0 V + 0 V = 0 V y k 0 V = 0 V p a r a c u a l q u i e r k r e a l Los subespacios { 0 V } y V se denominan subespacios triviales de V .