El lenguaje secreto de los triángulos

El lenguaje secreto de los triángulos

1. Sabina Velasco Frutos

   • UNIDAD 1 - TRIGONOMETRÍA
     • REPASO DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
       • MEDIDA DE ÁNGULOS
         • Los ángulos se pueden medir en grados o radianes. GRADOS: un ángulo recto mide 90º. Un grado se divide en 60 minutos y un minuto en 60 segundos. RADIANES: un radián es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio. EQUIVALENCIAS: 180º= π rad y 360º= 2π rad.
         • CONVERSIÓN DE UNIDADES: DE GRADOS A RADIANES: multiplicar por π/180α rad = α grados·π/180 DE RADIANES A GRADOS: multiplicar por 180/π α grados = α rad·180/π
       • RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
         • En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas relacionan sus lados con un ángulo agudo α (alfa). Por el TEOREMA DE TALES, los triángulos semejantes conservan las siguientes razones:
         • SENO α = cateto opuesto a α / hipotenusa  COSENO α = cateto contiguo a α / hipotenusa  TANGENTE = cateto opuesto a α / cateto contiguo a α
         • La HIPOTENUSA es el lado opuesto al ángulo recto; los catetos son los otros dos lados.
       • RELACIONES FUNDAMENTALES
         • Las razones recíprocas son: SECANTE α:  hipotenusa / cateto contiguo a α = 1 / cos α COSECANTE α:  hipotenusa / cateto opuesto a α = 1 / sen α COTANGENTE α: cateto contiguo a α / cateto opuesto a α = 1 / tan α
         • Las relaciones fundamentales sirven para obtener unas razones a partir de otras: ( sen α )² + ( cos  α )² = 1 tan  α  = sen  α / cos  α  1 + tanα ² = sec α ²
       • RAZONES TRIGONOMÉTRICAS ENTRE 0º Y 360º
         • La circunferencia goniométrica es una circunferencia de radio = 1 que permite representar ángulos  y calcular sus razones trigonométricas. El coseno corresponde a la coordenada horizontal y el seno a la coordenada vertical.  La tangente se representa mediante la recta tangente a la circunferencia en el punto  ( 1,0 ).
         • SIGNOS DE LAS RAZONES SEGÚN EL CUADRANTE:  PRIMER CUADRANTE: seno +, coseno + y tangente +. SEGUNDO CUADRANTE: seno +, coseno - y tangente -. TERCER CUADRANTE: seno -, coseno - y tangente +. CUARTO CUADRANTE: seno -, coseno + y tangente -.
         • Para calcular una razón de un ángulo que no está en el primer cuadrante identificamos su cadrante, su signo y el ángulo de referencia.
       • RELACIÓN ENTRE DIFERENTES ÁNGULOS CON EL PRIMER CUADRANTE
         • Estas relaciones permiten calcular las razones de ángulos relacionados con otro ángulo conocido.
         • ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS: suman 180º = un ángulo llano.  sen (180º - α ) = sen  α    cos ( 180º - α ) = - cos  α    tan ( 180º - α ) = sen ( 180º -  α ) / cos ( 180º - α ) =     sen  α  / - cos  α  = - tan  α 
         • ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º: sen ( 180º + α ) = - sen  α  cos ( 180º + α ) = - cos  α  tan ( 180 + α ) = tan  α 
         • ÁNGULOS OPUESTOS: tienen la misma amplitud, pero sentidos contrarios. sen ( - α ) = - sen  α    cos ( - α ) = cos  α  tan ( - α ) = - tan  α 
         • ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS: suman 90º = un ángulo recto. sen ( 90º - α ) = cos  α   cos ( 90º - α ) = sen α tan ( 90º - α ) = sen  ( 90º - α ) / cos ( 90º -  α ) =   cos  α / sen  α = cotan  α 
       • CÁLCULO DE RAZONES A PARTIR DE UNA CONOCIDA
         • Se utiliza la relación fundamental y se determina el signo según el cuadrante.
       • RAZONES DE ÁNGULOS MAYORES DE 360º O MENORES DE 0º
         • Para calcular sus razones, reducimos el ángulo sumando o restando vultas completas. Una vuelta equivale a 360º 0 2π radianes.
     • RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
       • TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
         • Son los triángulos que tienen un ángulo de 90º. Los dos ángulos agudos restantes suman 90º. Para resolverlos se utilizan las razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras: h² = a² + b² donde h es la hipotenusa y a, b son los catetos
       • TRIÁNGULOS CUALESQUIERA
         • Son los triángulos que no tienen necesariamente un ángulo recto. La suma de sus ángulos interiores es 180º. Para reolverlos utilizamos el teorema de los senos o el teorema del coseno, según los datos que conozcamos.
         • TEOREMA DE LOS SENOS
           • En un triángulo cualquiera, cada lado es proporcional al seno del ángulo opuesto. a / sen A = b / sen B = c / sen C
           • Se utiliza cuando conocemos un lado y su ángulo opuesto, junto con otros datos que permitan calcular los elementos restantes.
         • TEOREMA DEL COSENO
           • Permite calcular un lado conociendo los otros dos y el ángulo que forman. También permite hallar un ángulo si se conocen los tres lados.
           • a² = b² + c² - 2bc cos A  b²= a² + c² - 2ac cos B  c² = a² + b² - 2ab cos C 
       • APLICACIONES PRÁCTICAS
         • La trigonometría permite calculara alturas y distancias inaccesibles, como las de árboles, antenas, túneles...
     • FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
       • RAZONES DE LA SUMA Y LA DIFERENCIA
         • Estas fórmulas permiten calcular las razones de un ángulo expresado como suma o diferencia de otros dos.
         • SENO: sen ( α + β ) = sen α · cos β + cos α · sen β sen ( α -  β ) = sen  α · cos  β - cos  α · sen  β
         • COSENO:  cos ( α +  β ) = cos  α · cos  β  - sen  α · sen  β  cos ( α  -  β ) = cos  α · cos  β + sen  α · sen  β 
         • TANGENTE: tan ( α  + β ) = tan α + tan  β / 1- tan α · tan  β  tan ( α  -  β ) = tan α  - tan  β / 1 + tan α · tan  β 
       • RAZONES DEL ÁNGULO DOBLE
         • El ángulo doble es 2α, es decir, el doble de un ángulo.  
         • SENO DEL ÁNGULO DOBLE: sen ( 2α ) = 2sen α · cos  α
         • COSENO DEL ÁNGULO DOBLE:  cos ( 2α ) = cos² α - sen² α  cos ( 2α ) = 2cos² α - 1
         • TANGENTE DEL ÁNGULO DOBLE: tan ( 2α ) = tan α + tan α / 1 - tan α · tan α  = 2tan α  / 1 - tan² α 
         • Estas fórmulas nos permiten transformar expresiones que contienen 2α y simplificar ecuaciones.
       • SUMA Y DIFERENCIA DE SENOS
         • Estas fórmulas transforman sumas y restas de senos en productos.
         • sen  A + sen B = 2 · sen ( A + B / 2 ) · cos ( A - B / 2 ) sen A - sen B = 2 · cos ( A + B / 2 ) · sen ( A - B / 2 )
       • SUMA Y DIFERENCIA DE COSENOS
         • Estas fórmulas también permiten transformar sumas y diferencias en productos.
         • cos A + cos B = 2 · cos ( A + B / 2 ) · cos ( A - B / 2 ) cos A - cos B = - 2 · sen ( A + B / 2 ) · sen ( A - B / 2 )
       • IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
         • Una identidad trigonométrica es una igualdad que se cumple para todos los valores para los que están definidas sus expresiones.  Para demostrarla transformamos uno de los miembros hasta obtener el otro.
       • SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES TRIGONOMÉTRICAS
         • Para simplificar una expresión, sustituimos las razones por fórmulas equivalentes, aplicamos las relaciones fundamentales y reducimos la expresión.
       • RAZONES DEL ÁNGULO MITAD
         • El ángulo mitad de α es α / 2.
         • SENO DEL ÁNGULO MITAD: sen α / 2 = + √1- cos α/ 2 sen α / 2 = - √1- cos α/ 2
         • COSENO DEL ÁNGULO MITAD:  cos α / 2 = + √1 + cos  α / 2 cos α  2 = - √1 + cos  α / 2
         • TANGENTE DEL ÁNGULO MITAD: tan  α / 2 = + √1 - cos α / 1 + cos α tan  α / 2 = - √1 - cos α / 1 + cos α
         • El signo depende del cuadrante en el que se encuentre el ángulo mitad. 
     • ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
       • DEFINICIÓN Y MÉTODO DE RESOLUCIÓN
         • Las ecuaciones trigonométricas son aquellas en las que la incógnita aparece en una o varias razones trigonométricas.
         • PARA RESOLVERLAS:  1º- Expresamos la ecuación utilizando, si es posible, un mismo ángulo y una sola razón. 2º- Aplicamos las identidades trigonométricas necesarias. 3º- Despejamos o factorizamos. 4º- Calculamos todas las soluciones y añadimos la perioricidad correspondiente.
         • En grados, el seno y el coseno se repiten cada 360º, mientras que la tangente se repite cada 180º.
       • ECUACIONES DE SENO
         • Se resuelven buscando los ángulos cuyo seno tiene el valor indicado. El seno, dependiendo del cuadrante, puede ser positivo o negativo.
       • ECUACIONES DE COSENO CON ÁNGULO DOBLE
         • Son ecuaciones en las que aparece el coseno de un ángulo doble ( 2x ).  Para resolverlas se puede sustituir 2x por otro ángulo y despúes despejar x.
       • ECUACIONES QUE COMBINAN VARIAS RAZONES
         • Cuando aparecen senos y cosenos juntos, usamos las fórmulas del ángulo doble y las relaciones fundamentales para dejar la ecuación en función de una sola razón.
       • ECUACIONES QUE SE RESUELVEN FACTORIZANDO
         • Consiste en transformar la ecuación en un producto de factores igualado a 0. Después, se iguala cada factor a 0 y se resuelve por separado.
       • ECUACIONES DE TANGENTE
         • Se resuelven buscando los ángulos cuya tangente coincida con el valor dado. La tangente se repite cada 180º, por lo que sus soluciones se expresan sumando múltiplos de 180º.

Bilder und Dateien der Mindmap