Partícula em uma caixa

Partícula em uma caixa

1. Partícula livre movendo-se em uma dimensão

   • Translação de moléculas em recipientes fechados
   • Elétrons de valência em peça de metal
   • Elétrons do sistema de ligações  de moléculas conjugadas

2. Não há restrições às soluções da equação de Schrödinger  A e B podem assumir qualquer valor, assim como k  energia não é quantizada.

   • Dentro da caixa, a equação de Schrödinger tem a mesma forma que a da partícula livre
     • Mas agora as soluções devem satisfazer as condições de contorno, que definem o sistema
       • Valores de n negativos apenas mudam o sinal da função de onda em relação aos valores negativos, gerando os mesmos estados
       • Energias, assim como outras propriedades, ficam quantizadas através do número quântico n.
         • Soluções são compatíveis com a hipótese da partícula ser uma onda estacionária com nós (amplitude zero) nas paredes

3. Partícula confinada entre duas paredes a uma distância L uma da outra. Além das paredes a energia potencial é infinita. Entre as paredes: V(x) = 0

4. Posição da partícula não é totalmente indefinida  momento tem incerteza correspondente (não pode ser nulo).

   •  deve ser diferente de zero na caixa mas nula nas paredes  como é contínua, tem que ter curvatura ao longo da caixa  tem que haver energia cinética.
     • Átomos e moléculas deslocando-se em recipientes de laboratório  L grande demais  variações de energia praticamente não-quantizadas.
       • Normalização

5. Energia cinética

   • Com o aumento de n, aumenta a curvatura média da função  aumento da energia cinética. Quanto maior n, maior o número de nós (pontos onde a função passa por zero)  Em geral, quanto maior o número de nós, maior a energia. Número de nós = n -1.

6. Momento linear

   • Função senkx não é autofunção do momento linear, mas  pode ser expressa alternativamente como
     • Superposição de estados com p = kℏ e –kℏ . Em metade do tempo a partícula move-se para a direita e na outra metade para a esquerda.

7. Densidade de Probabilidade

   • Para n pequeno, densidade de probabilidade varia muito dentro da caixa, mas para n elevado ela vai se tornando uniforme (comportamento clássico)  princípio da correspondência (resultados da mecânica clássica surgem dos da mecânica quântica em números quânticos elevados)