Matemática

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Fatorar significa transformar a soma e a subtração de expressões algébricas ou equações em um produto com fatores. Podemos entender a fatoração como sendo a simplificação das sentenças matemáticas. Existem sete casos de fatoração, confira a seguir alguns deles.

Fator comum em evidência

Esse caso de fatoração é determinado pela fórmula:

Veja que o termo a ser colocado em evidência foi o x, pois ele se repete na composição do monômio ax e bx.

Exemplos:

6x+6y=6⋅(x+y)

2ax−3bx=x⋅(2a−3b)

cx2+bx=x⋅(cx+b)

Observe que nesse exemplo o x de menor grau foi colocado em evidência.

Agrupamento

A fórmula geral que estabelece o agrupamento é dada por:

ax+bx+ay+by=(x+y)⋅(a+b)

Sendo que:

ax+bx+ay+by=x⋅(a+b)+y⋅(a+b)=(x+y)⋅(a+b)

Observe que nesse caso de fatoração não há um fator que será comum a todos os termos, temos somente fatores que são comuns a alguns termos.

Exemplos:

⇒ 2x+8x+2y+8y=

=x⋅(2+8)+y⋅(2+8)=

=(2+8)⋅(x+y)

⇒ 5z+2z+5x+2x=

=5z+5x+2z+2x=

=5⋅(z+x)+2⋅(z+x)=

=(5+2). (z+x)

Diferença de dois quadrados

Confira a seguir a fórmula geral desse caso de fatoração:

a2−b2=(a+b)⋅(a−b)

Observe que esse caso de fatoração é o inverso do produto notável Soma pela Diferença de Dois Quadrados, representado por: (a+b)⋅(a−b)=a2−b2 . Acompanhe a seguir alguns exemplos da Diferença de Dois Quadrados:

Exemplos:

⇒ 36x2−81y2=

=(6x)2−(9y)2=

=(6x+9y)⋅(6x−9y)

⇒ 4x2−9z2=

=(2x)2−(3z)2=

=(2x+3z)⋅(2x−3z)

Trinômio quadrado perfeito

Esse caso de fatoração é o inverso dos produtos notáveis: Quadrado da soma de dois termos e Quadrado da diferença de dois termos. O Trinômio quadrado perfeito possui representação tanto na soma como na diferença. Acompanhe a seguir as suas fórmulas gerais.

Diferença: a2−2ab+b2=(a−b)2

Soma: a2+2ab+b2=(a+b)2

Façamos agora um exemplo de cada caso:

Exemplos:

Diferença: 9y2−12y+4=

=(3y)2−2⋅3y⋅2+(2)2=

(3y−2)2

Isso por que: 9y2=(3y)2

12y=2⋅3y⋅2

4=(2)2

Soma: 16x2+40x+25=

=(4x)2−2⋅4x⋅5+(5)2=

(4x+5)2

Isso por que: 16y2=(4y)2

40x=2⋅4x⋅5

25=(5)2

Entenda o que é Fatoração (Einbetten)

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Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja:

2x + 1 = 0. O expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau.

2x² + 2x + 6 = 0. Há duas incógnitas x nessa equação, e uma delas possui expoente 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.

x³ – x² + 2x – 4 = 0. Nesse caso, temos três incógnitas x, e o maior expoente – no caso, expoente 3 – torna a equação como do 3º grau.

Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de resolução de uma equação do 2º grau por meio do método de "Bhaskara". Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. As raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0, por exemplo, são x = 4 ou x = 6, pois:

Substituindo x = 4 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0

4² – 10 * 4 + 24 = 0

16 – 40 + 24 = 0

–24 + 24 = 0

0 = 0 (verdadeiro)

Substituindo x = 6 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0

6² – 10 * 6 + 24 = 0

36 – 60 + 24 = 0

– 24 + 24 = 0

0 = 0 (verdadeiro)

Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação, mas como podemos determinar os valores que tornam a equação uma sentença verdadeira? É essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir.

Método de Bhaskara

Vamos determinar pelo método resolutivo de Bhaskara os valores da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0.

Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação: ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são os coeficientes. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3.