NÚMEROS

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Números naturais e números inteiros: operações, propriedades, números primos e

compostos.

Números Naturais

Os Números Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...} são números inteiros positivos (não-negativos) que se agrupam num conjunto chamado de N, composto de um número ilimitado de elementos. Se um número é inteiro e positivo, podemos dizer que é um número natural.

Números Inteiros

O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números que não são decimais. Em outras palavras, o conjunto dos números inteiros é formado pelo conjunto dos números naturais e seus opostos aditivos. Por exemplo: o número 1 pertence ao conjunto dos números naturais e dos números inteiros.

Números Racionais

Os números racionais são os números que podem ser escritos na forma de fração. Esses números podem também ter representação decimal finita ou decimal infinita e periódica.

Observe que o conjunto dos números racionais, representado por , contém o conjunto dos números inteiros, que por sua vez contém o conjunto dos números naturais, ou seja, .

Números Reais

Um número real é um valor que representa uma quantidade ao longo de uma linha contínua, ou seja um ponto sobre uma linha reta infinita, chamada de reta numérica ou reta real, onde os pontos correspondentes aos números inteiros são igualmente espaçados

Números Primos e Compostos

Os números primos têm como únicos divisores eles mesmos e a unidade, os números que têm outros divisores além deles mesmos e a unidade são chamados de compostos.

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Divisibilidade, decomposição em fatores primos, múltiplos, divisores

Critérios de divisibilidade

Critérios de divisibilidade são regras que permitem verificar se o número inteiro é divisor de um outro número inteiro, baseando-se em propriedades da sua representação decimal. Um número inteiro é divisível por um inteiro.

Decomposição em fatores primos

A decomposição em fatores primos é um processo pelo qual escrevemos números compostos na forma de um produto em que todos os fatores são números primos. A decomposição em fatores primos é o nome dado ao processo de escrever um número composto na forma de produto entre números primos.

Múltiplos e divisores: Decomposição em fatores primos

Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto em um produto de dois ou mais fatores. No produto 2 x 2 x 2 x 3, todos os fatores são primos. Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 em um produto de fatores primos.

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Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum.

O mínimo múltiplo comum (MMC ou M.M.C) e o máximo divisor comum (MDC ou M.D.C) podem ser calculados simultaneamente através da decomposição em fatores primos. Já o MDC é obtido pela multiplicação dos números que os dividem ao mesmo tempo.

1º passo: fatoração dos números

A fatoração consiste na representação em números primos, que são chamados de fatores. Por exemplo, 2 x 2 é a forma fatorada de 4.

A forma fatorada de um número é obtida seguindo a sequência:

Inicia-se com a divisão pelo menor número primo possível;

O quociente da divisão anterior também é dividido pelo menor número primo possível;

Repete-se a divisão até que o resultado seja o número 1.

Exemplo: fatoração do número 40.

40 | 2 → 40 : 2 = 20, pois 2 é o menor divisor primo possível e o quociente da divisão é 20.

20 | 2 → 20 : 2 = 10, pois 2 é o menor divisor primo possível e o quociente da divisão é 10.

10 | 2 → 10 : 2 = 5, pois 5 é o menor divisor primo possível e o quociente da divisão é 5.

5 | 5 → 5 : 5 = 1, pois 5 é o menor divisor primo possível e o quociente da divisão é 1.

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Portanto, a forma fatorada do número 40 é 2 x 2 x 2 x 5, que é o mesmo que 23 x 5.

2º passo: cálculo do MMC

A decomposição de dois números simultaneamente terá como resultado a forma fatorada do mínimo múltiplo comum entre eles.

Exemplo: fatoração dos números 40 e 60.

A multiplicação dos fatores primos 2 x 2 x 2 x 3 x 5 tem como forma fatorada 23 x 3 x 5.

Portanto, o MMC de 40 e 60 é: 23 x 3 x 5 = 120.

Vale lembrar que as divisões sempre serão feitas pelo menor número primo possível, mesmo que esse número divida apenas um dos componentes.

3º passo: cálculo do MDC

O máximo divisor comum é encontrado quando multiplicamos os fatores que dividem simultaneamente os números fatorados.

Na fatoração de 40 e 60, podemos perceber que o número 2 foi capaz de dividir duas vezes o quociente da divisão e o número 5 uma vez.

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Números racionais e irracionais: operações, propriedades, equivalência de frações, classes de equivalência, representação decimal dos números racionais, números decimais periódicos, operações com números decimais.

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Raiz quadrada

Trata-se de um caso particular de radiciação, no qual o índice do radical é igual a 2, ou seja, é a operação inversa das potências de expoente igual a 2. Quando um número positivo possui raiz quadrada exata, dizemos que esse número é um quadrado perfeito.

Definição e nomenclatura dos elementos da radiciação

Sejam a e b dois números reais e n um número natural diferente de zero, então:

a = radicando

n = índice

√ = radical

As raízes quadradas, como dito, são um caso particular de radiciação. Ao escrever uma raiz quadrada, não é necessário explicitar o índice igual a dois.

Para os demais tipos de raízes, é obrigatório colocar o índice, ou seja, para n = 3, n = 4, n = 5 …, é necessário deixar explícito no índice do radical o valor de n.

Como calcular uma raiz quadrada?

Para calcular a raiz quadrada de um número real, basta seguir a definição de radiciação:

A definição nos diz que a raiz quadrada de um número real a é o número b se, e somente se, o número b elevado ao quadrado for igual ao número a, ou seja, temos que imaginar um número que, ao quadrado, resulte no número dentro do radical.

Exemplos:

√36 = 6, pois 62 = 36

√121 = 11, pois 112 = 121

Os números que possuem raiz quadrada são denominados quadrados perfeitos. Assim, dos exemplos acima, os números 36 e 121 são quadrados perfeitos. Quando o número não é um quadrado perfeito, é necessário realizar o cálculo de raízes não exatas.

Observações:

1. Perceba, com base na definição de raiz quadrada, que sempre procuramos um número que, quando elevado ao quadrado, resulta no número dentro do radical. Tendo em vista as propriedades da potenciação, sabemos que um número ao quadrado é sempre positivo. Isso nos leva a concluir que não é possível extrair raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais.

Exemplo:

√ — 36 = ?

Do exemplo acima, teríamos que imaginar um número que, elevado ao quadrado, resultaria em -36. No conjunto dos números reais, isso não é impossível.

2. Caso o radicando seja um número relativamente grande, o que impossibilitaria o cálculo mental, basta fazer a decomposição em primos e agrupar sempre que possível em potências de expoente dois.

Exemplo:

Vamos determinar o valor da raiz quadrada de 441.

√441

Para determinar a raiz de 441, vamos fazer a decomposição em primos:

441 = 32 . 72

Assim,

√441 = √32 . 72

Agora, aplicando as propriedades de radiciação, temos que:

√441 = 3 . 7 = 21

O número 21 elevado ao quadrado é igual a 441.

Interpretação geométrica da raiz quadrada

Imagine um terreno com área de 144 m2.

Para determinar quanto mede o lado desse terreno em forma de quadrado, temos que relembrar como calcular sua área.

Aquadrado = l2

A representa o valor da área, e l é o valor do lado.

Como a área vale 144 m2, temos que:

144= l2

Observe a equação acima. Note que precisamos encontrar um número que, elevado ao quadrado, seja igual a 144, isto é, temos a definição de raiz quadrada! Então:

√144 = 12

O número 144 na forma fatorada é:

144 = 22 . 22 . 32

Assim, vamos ter que:

√144 = √22 . 22 . 32

Por fim,

√144 = 2 . 2 . 3 = 12

Portanto, o lado do terreno mede 12 m.

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Raiz Cúbica

Um cubo é definido como um número multiplicado por si 3 vezes (x3). A raiz cúbica é simplesmente o inverso desse processo (x1/3). ... Por exemplo, a raiz cúbica de 125 é 5, uma vez que o produto de 5 por 5 por 5 é 125.

Como calcular raiz cúbica?

Primeiro, devemos fatorar o número em questão. Vamos tomar como exemplo o número 125;

Em seguida, colocamos o número fatorado dentro da raiz cúbica;

Por fim, elevamos o número fatorado pelas vezes que ele se repete e obtemos o resultado final.

Raízes cúbicas por estimação repetida

Este método é utilizado para obter a raiz cúbica de qualquer número. Para o nosso exemplo, vamos tentar descobrir a raiz cúbica de 600. Desta forma, vamos começar a entender o método.

Primeiro devemos escolher dois limites: um inferior e um superior. Em outras palavras, precisamos saber dois cubos perfeitos onde 600 esteja no meio deles. Sabe-se que 8³=512 e 9³=729. Assim, a solução para a raiz cúbica de 600 está entre 8 e 9;

O segundo passo é escolher um segundo digito. Como o resultado está entre 8 e 9, podemos escolher o segundo digito como sendo 5. Assim, nosso possível resultado é 8,5. Vamos testar a estimativa elevando ela ao cubo. Desta forma, 8,5³ = 614,1;

No passo anterior, obtivemos um resultado maior que 600. Vamos então ajustar nossa estimativa. Assim vamos reduzir o segundo digito para 4, então dessa forma a estimativa fica 8,4. Elevando ela ao cubo, obtemos 8,4³ = 592,7;

O próximo passo é ajustar a estimativa novamente até se obter um resultado que seja o mais próximo possível do verdadeiro. Se fizermos 8,43 ao cubo, vamos obter como resultado o valor 599,07, mas ainda não é um resultado que queremos. Se fizermos 8,434 ao cubo teremos o resultado de 599,93 que é muito próximo de 600. Portanto, o resultado da raiz cúbica de 600, de uma forma aproximada, é 8,434.

Este método, como podemos ver, é uma forma de tentativa e erro. Em outras palavras, você tem que ir tentando ajustar a estimativa até chegar próximo do resultado. Vimos alguns dos exemplos de como se calcular a raiz cúbica de um número, porém existem muitos outros meios que são encontrados nos livros didáticos.

(Fatoração ou Fatorização é o termo usado na álgebra para designar a decomposição que se faz de cada um dos elementos que integram um produto, ou seja, o resultado de uma multiplicação. Assim como parcela é cada uma das partes que integram uma adição, o fator é como se chama cada elemento que integra o produto).

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Representação dos números na reta real.

As retas numéricas são uma relação biunívoca entre os números reais e os pontos da reta. Isso significa que cada ponto da reta é representado apenas por um número real e que cada número real representa apenas um número da reta. ... Um número mais à direita é maior que um número mais à esquerda.

Uma reta numérica é uma reta na qual foram colocados todos os números reais. Essas retas são construídas com base no conceito de distância entre dois pontos, uma vez que toda distância é representada por um número real e quanto maior esse número, maior a distância que ele representa. Esse é justamente o conceito utilizado para a construção de uma reta numérica. Elas são usadas para medir distâncias e podem ser encontradas em objetos muito comuns como a régua ou a fita métrica.

A seguir, mostraremos como construir uma reta numérica e o modo como os números reais se comportam quando são representados nela.

Construção de uma reta numérica

Os passos que devem ser tomados, na ordem correta, para a construção de uma reta numérica são os seguintes:

1 – Tomar uma reta e, nela, escolher um ponto que representará o número real 0 (zero). Esse ponto será chamado de origem.

2 – Escolher um sentido para essa reta, chamado sentido positivo. Por exemplo, em uma reta horizontal, se escolhermos “da esquerda para a direita” como sentido positivo, um número que estiver mais à direita será maior que um número que estiver mais à esquerda.

Dessa maneira, o primeiro número inteiro que virá à direita do zero será 1, pois esse é o número inteiro imediatamente maior que zero e o primeiro número que virá à esquerda da origem é – 1, pois esse é o número inteiro imediatamente menor que zero.

3 – Escolher uma unidade de medida e usá-la para marcar os números na reta numérica. Esses números devem ser marcados da seguinte maneira: dada uma unidade de medida predefinida, medir a distância entre um ponto e a origem. A distância obtida será o número real relacionado àquele ponto.

Para representar números racionais, escreva-os na forma decimal e os marque na reta numérica conforme o exemplo a seguir: 3,25 é um número formado por 3 inteiros e 25 centésimos. Logo, dividiremos o espaço entre 3 e 4 em 100 partes iguais e marcaremos a que representa 25, como na imagem acima.

Formalização e propriedades da reta numérica

O conceito que permite que as retas sejam relacionadas aos números é o de função. As retas numéricas são uma relação biunívoca entre os números reais e os pontos da reta. Isso significa que cada ponto da reta é representado apenas por um número real e que cada número real representa apenas um número da reta. Essa relação pode ser comparada às funções bijetoras.

Os resultados dessa relação e da construção das retas numéricas, já discutido acima, são as seguintes propriedades:

Um número mais à direita é maior que um número mais à esquerda.

À esquerda da origem ficarão todos os números negativos.

Um número negativo sempre é menor que um número positivo.

Para essa última propriedade vale observar alguns exemplos:

O número + 20 é sempre maior que o número – 20, pois o primeiro está à direita do segundo. Também podemos dizer que o número + 20 é maior que qualquer número negativo, pois não existe número negativo à direita de + 20. Já a comparação entre dois números negativos, quanto maior o módulo do número menor o seu valor. Por exemplo: o número – 50 é menor que – 1, pois – 50, além de estar mais à esquerda, possui maior módulo.

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Cálculo com radicais e racionalização de denominadores.

Para racionalizar o denominador de uma fração, devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.

O conjunto dos números reais ℝ apresenta números que podem ser representados por frações cujo denominador é um número irracional assim como . Nesses casos, pode-se utilizar uma fração equivalente, multiplicando o numerador e o denominador pelo radical no denominador, já que o valor numérico de uma fração não se altera se multiplicarmos ou dividirmos ambos os termos pelo mesmo número diferente de zero. Assim, temos que .Esse procedimento é conhecido como racionalização do denominador, em outras palavras, esse procedimento consiste em transformar um denominador irracional em um número racional, porém sem alterar o valor numérico de uma fração. A racionalização de denominadores simplifica a execução dos cálculos, tornando-os mais rápidos de efetuar.

Agora, quando o denominador é composto por uma adição ou uma subtração envolvendo alguma raiz quadrada, o processo é um pouco diferente. Nesses casos é mais prático utilizar as propriedades do produto da soma pela diferença dos mesmos termos. Assim, se o denominador envolve uma adição, multiplicaremos a fração pela diferença dos termos no denominador e vice-versa.