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Pro42.1. Como B(4,4,0) , conclui-se que OA = 4 , ou seja, a medida

do comprimento da aresta do octaedro é igual a 4.

Seja P a projeção ortogonal do ponto M sobre o plano xOy.

Então, P(2,2,0) .

O triângulo [MPO] é isósceles e retângulo em P.

Aplicando o teorema de Pitágoras, tem-se:

( ) = + ( ) ( ) 2 2 2

MO MP PO

⇔ = ( )

2 2 4 2 MP

⇔ = ( )

2

8 MP

Então, MP = = 8 22 .

Assim sendo, o ponto M tem cota igual a 2 2 e as suas

coordenadas são (2,2,2 2 ) .

42.2. = −= ( ) −( ) =− − ( ) 

BM M B 2,2,2 2 4,4,0 2, 2,2 2 .

A reta BM passa no ponto B(4,4,0) e tem a direção do vetor 

BM .

Então, uma equação vetorial da reta BM é:

( )( ) xyz k , , 4 ,4 ,0 2, 2,2 2 , = + −− ( ) k∈R .

42.3. Substituindo k por um número real entre 0 e 1, na equação

vetorial da reta BM, obtém-se as coordenadas de um ponto que

pertence à aresta [BM] e não é vértice do octaedro.

Se, por exemplo, = 1

2

k , tem-se:

( )( ) = + −− ( ) ⇔ 1 , , 4,4,0 2, 2,2 2 2 xyz

⇔ = ( )( ) xyz , , 4,4,0 1, 1, 2 , , 3,3, 2 +− − ⇔ = ( ) ( ) xyz ( ) .

Então, o ponto de coordenadas (3,3, 2 ) pertence à aresta

[BM] e não é vértice do octaedro.