O que são conjuntos numéricos?

Folie 1

• Conjuntos numéricos são coleções de números que possuem características semelhantes. Eles nasceram como resultado das necessidades da humanidade em determinado período histórico. Veja quais são eles!
• Conjunto dos Números Naturais
• O conjunto dos Números Naturais foi o primeiro de que se teve notícia. Nasceu da simples necessidade de se fazer contagens, por isso, seus elementos são apenas os números inteiros e não negativos.
• Representado por N, o conjunto dos números naturais possui os seguintes elementos:
• N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}
• Conjunto dos Números Inteiros
• O conjunto dos números inteiros é uma ampliação do conjunto dos números naturais. Ele é formado pela união do conjunto dos números naturais com os números negativos. Em outras palavras, o conjunto dos números inteiros, representado por Z, possui os seguintes elementos:
• Z = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
• Conjunto dos Números Racionais
• O conjunto dos números racionais nasceu da necessidade de dividir quantidades. Portanto, esse é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de fração. Representado por Q, o conjunto dos números racionais possui os seguintes elementos:
• Q = {x ∈ Q: x = a/b, a ∈ Z e b ∈ N}
• A definição acima é lida da seguinte maneira: x pertence aos racionais, tal que x é igual a adividido por b, com a pertencente aos inteiros e b pertencente aos naturais.
• Em outras palavras, se é fração ou um número que pode ser escrito na forma de fração, então é um número racional.
• Os números que podem ser escritos na forma de fração são:
• 1 – Todos os números inteiros;
• 2 – Decimais finitos;
• 3 – Dízimas periódicas.
• Os decimais finitos são aqueles que possuem um número finito de casas decimais. Observe:
• 1,1
• 2,32
• 4,45
• Dízimas periódicas são decimais infinitos, mas que repetem a sequência final de suas casas decimais. Observe:
• 2,333333....
• 4,45454545....
• 6,758975897589....

Folie 2

• Conjunto dos Números Irracionais
• A definição de números irracionais depende da definição de números racionais. Portanto, pertencem ao conjunto dos números irracionais todos os números que não pertencem ao conjunto dos racionais.
• Dessa forma, ou um número é racional ou ele é irracional. Não existe possibilidade de um número pertencer a esses dois conjuntos simultaneamente. Dessa maneira, o conjunto dos números irracionais é complementar ao conjunto dos números racionais dentro do universo dos números reais.
• Outra maneira de definir o conjunto dos números irracionais é a seguinte: Os números irracionais são aqueles que não podem ser escritos na forma de fração. São eles:
• 1 – Decimais infinitos
• 2 – Raízes não exatas
• Os decimais infinitos são números que possuem infinitas casas decimais e que não são dizimas periódicas. Por exemplo:
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• 0,12345678910111213...
• π
• √2
• Conjunto dos Números Reais
• O conjunto dos números reais é formado por todos os números citados anteriormente. Sua definição é dada pela união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. Representado por R, esse conjunto pode ser escrito matematicamente da seguinte maneira:
• R = Q U I = {Q + I}
• I é o conjunto dos números irracionais. Dessa maneira, todos os números citados anteriormente são também números reais.
• Conjunto dos Números Complexos
• O conjunto dos números complexos nasceu da necessidade de se encontrar raízes não reais de equações de grau maior ou igual a 2. Ao tentar resolver a equação x2 + 2x + 10 = 0, por exemplo, por meio da fórmula de Bhaskara, teremos:
• x2 + 2x + 10 = 0
• a = 1, b = 2 e c = 10
• ∆ = 22 – 4·1·10
• ∆ = 4 – 40
• ∆ = – 36
• Equações do segundo grau que possuem ∆ < 0 não apresentam raízes reais. Para encontrar suas raízes, o conjunto dos números complexos foi criado, de modo que √– 36 = √36·(– 1) = 6·√– 1 = 6i.
• Os elementos do conjunto dos números complexos, representado por C, são definidos da seguinte maneira:
• z é um número complexo se z = a + bi, em que a e b são números reais e i = √– 1.
• Relação entre conjuntos numéricos
• Alguns conjuntos numéricos são subconjuntos de outros. Algumas dessas relações foram evidenciadas no decorrer do texto, contudo, todas elas serão expostas a seguir:
• 1 – O conjunto dos números naturais é subconjunto do conjunto dos números inteiros;
• 2 – O conjunto dos números inteiros é subconjunto do conjunto dos números racionais;
• 3 – O conjunto dos números racionais é subconjunto do conjunto dos números reais;
• 4 – O conjunto dos números irracionais é subconjunto do conjunto dos números reais;
• 5 – O conjunto dos números irracionais e o conjunto dos números racionais não possuem nenhum elemento em comum;
• 6 – O conjunto dos números reais é subconjunto do conjunto dos números complexos.
• Indiretamente, é possível estabelecer outras relações. É possível dizer, por exemplo, que o conjunto dos números naturais é subconjunto do conjunto dos números complexos.

Folie 3

• https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-conjuntos-numericos.htm