Cap.9-Triângulos

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Cap.9-Triângulos

*Elementos de um triângulo*

Os elementos formam a região conhecida como região triangular. São eles:

Vértices: os pontos indicados por A, B e C, são chamados de vértices.

Lados: os lados são formados pelos segmentos de reta, ou seja,

Ângulos internos: os ângulos internos são formados pelo encontro dos lados do triângulo, ou seja,

Ângulo externo: é o ângulo formado por um dos lados do triângulo com a reta suporte, suplementar ao ângulo interno. Veja:

*Relações entre o maior lado e o maior ângulo*

*Desigualdade Triangular*

A desigualdade triangular nos diz quando um conjunto de três números podem ser medidas dos lados de um triângulo. Ou seja, é a condição de existência de um triângulo.

Consideremos então um triângulo ABC conforme a figura abaixo:

A desigualdade triangular nos diz que a medida de um lado sempre tem que ser menor que a soma das medidas dos outros dois, isto é:

*Segmentos e pontos notáveis de um triângulo*

Conforme se pode ver na ilustração abaixo, é possível traçar quatro segmentos de reta num triângulo, cada um com diferentes características. A partir destes quatro tipos diferentes de divisões do triângulo, conseguimos encontrar quatro pontos notáveis no triângulo. Na tabela está presente um resumo das principais caraterísticas desses pontos.

Altura: segmento de reta a unir a base com o vértice oposto formando um ângulo reto com esta.

Bissetriz: segmento de reta a unir a base com a bissetriz do vértice oposto.

Mediana: segmento de reta a unir o ponto médio da base com o vértice oposto.

Mediatriz: segmento de reta, partindo do ponto médio da base e formando um ângulo reto com esta.

Ortocentro

Ponto de Encontro das 3 Alturas

Incentro

Ponto de Encontro das 3 Bissetrizes

Baricentro

Ponto de Encontro das 3 Medianas

Circuncentro

Ponto de Encontro das 3 Medianas

*Triângulo Isósceles*

Triângulo isósceles é um polígono que apresenta três lados, sendo dois deles congruentes (mesma medida).

O lado com medida diferente é chamado de base do triângulo isósceles. O ângulo formado pelos dois lados congruentes é chamado de ângulo do vértice.

No triângulo isósceles ABC, representado abaixo, os lados possuem mesma medida. O lado é a base do triângulo. O ponto A é o vértice, enquanto o ângulo é o ângulo do vértice.

Propriedades dos Triângulos Isósceles

Todo triângulo isósceles apresenta as seguintes propriedades:

Os ângulos das bases são congruentes;

A bissetriz do ângulo do vértice coincide com a altura relativa à base e com a mediana.

*Triângulo Equilátero*

O triângulo equilátero é um tipo de triângulo que possui os três lados congruentes (mesma medida).

Além dos lados, os ângulos internos dessa figura apresentam as mesmas medidas: 3 ângulos de 60º, os quais totalizam 180°.

Lembre-se que os triângulos são figuras planas e fechadas constituídas por segmentos de reta, as quais são chamadas de polígonos.

Propriedades do triângulo equilátero

1. Os ângulos internos de um triângulo equilátero são congruentes (uma vez que lados de medidas iguais se opõem a ângulos de medidas iguais) e medem 60o.

2. Ao traçarmos a mediana, a bissetriz, a mediatriz e a altura de um triângulo equilátero observamos que elas coincidem. Ou seja, a altura do triângulo equilátero também é bissetriz e mediana.

*Casos de congruência de triângulos*

1- Caso Lado – Lado – Lado (LLL).

Se os três lados de um triângulo forem congruentes a três lados de outro triângulo, então esses dois triângulos são congruentes.

Exemplo:

Observe que os triângulos acima possuem os três lados correspondentes congruentes.

AB = ED = 3, AC = EF = 2 e BC = DF = 3,61

Portanto, pelo caso LLL, os triângulos são congruentes. (Observe que não foi necessário verificar os ângulos).

2- Caso Lado – Ângulo – Lado (LAL).

Se dois triângulos ABC e DEF possuem um lado, um ângulo e um lado com medidas iguais, então ABC é congruente a DEF. Contudo, observe que essa ordem deve ser respeitada. Triângulos que possuem dois lados e um ângulo com medidas iguais nem sempre são congruentes. O ângulo deve estar entre os dois lados, como na figura a seguir:

Observe que esses triângulos configuram o caso LAL, pois pode-se observar a congruência a seguir na ordem correta:

AC = EF = 2, ângulo A = ângulo E = 90 e AB = ED = 3

3- Caso Ângulo – Lado – Ângulo (ALA).

Quando dois triângulos possuem um ângulo, um lado e um ângulo congruentes, então esses triângulos são congruentes. A ordem das medidas aqui também conta. Não basta que os triângulos possuam dois ângulos e um lado iguais, é necessário que esse lado esteja entre os dois ângulos. Observe:

Os dois triângulos acima são congruentes, pois se enquadram no caso ALA, já que possuem:

ângulo A = ângulo F = 90, AB = EF = 2 e ângulo B = ângulo E = 56,31

4- Caso Lado – Ângulo – Ângulo oposto (LAAo).

Quando dois triângulos possuem um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado congruentes, então esses dois triângulos são congruentes. Novamente a ordem deve ser respeitada. Por exemplo, se o segundo ângulo observado não for oposto ao lado observado, então não existem garantias de que os dois triângulos sejam congruentes.

Observe a ordem de congruências nos triângulos acima:

AB = ED = 3, ângulo A = ângulo E = 90 e ângulo C = ângulo F = 56,31

Portanto, esses dois triângulos se enquadram no caso LAAo.