Problemas de Álgebra. Álgebra elemental y problemas de representación.

Consejos para la representación algebraica.

• Pasos para resolver problemas de planteo algebraico:
• 1.Interpretar correctamente el significado de la expresión hablada o escrita, asignando a las variables o incógnitas las últimas letras del alfabeto.
• 2.Escribir la expresión o expresiones algebraicas procurando referir todas las variables a una sola que pudiera llamarse X. Cuando haya más variables relacionadas establecer una relación con X y nombrarlas como Y o Z.
• 3.Relacionar la información ya simbolizada para establecer una ecuación o inecuación.
• 4.Resolver la ecuación o inecuación.
• Interpretar la solución algebraica en términos del lenguaje ordinario comprobando que satisface las condiciones estipuladas
• También puede servir una introducción al planteamiento de problemas con el siguiente video:
• https://www.youtube.com/watch?v=EYG1XvNUZF0

Plantee el problema y resuélvalo.

• Encuentre las dimensiones de un terreno rectangular con un perímetro de 540 metros, si sabemos que el largo mide 30 metros más que el ancho.
• 1.Los rectángulos tienen dos lados largos y dos lados anchos.
• 2.Tenemos que la suma de todos sus lados es igual a 540 metros.
• 3.El largo es 30 metros más grande que el ancho.
• 4.El ancho puede expresarse como la cantidad desconocida X.
• L= Largo= x+30; ancho= X. Perímetro=(2L)+(2X)
• 540=2L+2X
• 270-(X+30)=X
• 270=X+(X+30)
• 270=2X+30
• 240/2=X; 120=X; L=120+30; L=150 (-2L+540)/2=X
• 2(120)+2(150)=540 -2L/2+540/2=X
• 240+300=540 -L+270=X
• 540=540 270-L=X

Plantee y Resuelva:

• Si la suma de dos números es 21 y un número es el triple de otro. ¿Cuáles son estos números?
• La suma de dos números: X+Y. Es también se puede representar como igual a (=).
• X+Y=21; Y=3X X+3X=21; 4X=21; X=21/4=5.25; Y=3*5.25=15.75; 5.25+15.75=21; 21=21.
• Entonces los números son 5.25 y 15.75; el segundo es el triple del primero y los dos suman 21.
• El dígito de las decenas de un cierto número de dos dígitos es 4 unidades mayor que el dígito de las unidades y es una unidad menor que el doble del dígito de las unidades.
• XY=?; X=Y+4; X=2Y-1; 2Y-1=Y+4; 2Y-Y=4+1; Y=5; X=5+4; X=9
• XY=95

Plantea y Resuelve:

• Dos corredores recorren una pista circular de un kilómetro en 6 y 10 minutos. Si arrancan al mismo tiempo del mismo lugar y en la misma dirección. ¿En cuantos minutos pasará el más rápido al más lento?
• Habrá que sacar la velocidad de cada uno. Llamaremos A al más rápido y B al más lento.
• La velocidad de A será d/t =1Km/6m. La de B, d/t=1Km/10m.
• A=1Km---6m B=1Km---10m
• xKm---60m xKm=10Km/h xKm---60m xKm=6Km/h.
• 10/60-6/60=4/60 =15Km/60m; Lo que quiere decir que solo después de 15 vueltas el más rápido se encontrará con el más lento. Y si aproximamos en tiempo: 1 km--- Xm Xt=1km/4/60km Xm=15m
• 15 km--- 60m En 15 minutos el más Velocidad=distancia/tiempo rápido alcanzará al más
• Tiempo=distancia/velocidad lento

Plantea y Resuelve:

• ¿Cuántos kilos de nuez criolla que cuesta $20.00 el kilo, deben mezclarse
• con 30kg de nuez de castilla que cuesta $38.00/kg para obtener una mezcla que se vende a $26.00 el kilo.
• Criolla $20/kg; kg=?
• 26(x+30)=38*30
• 26x+780=20x+1140
• 26x-20x=1140-780
• 6x=360
• X=60
• Castilla $38/kg; 30kg
• Mezcla $26/kg; kg=?
• X=kg
• 30kg de Castilla
• 60kg de Criolla
• 90kg de mezcla

Plantea y Resuelve:

• Si al aumentar 4 metros a cada lado de un cuadrado el área aumenta 64 metros
• cuadrados ¿Cuáles eran las medidas del cuadrado original?
• (x+4)^2=64+x^2
• 8x+16=64
• 8x=48
• x=6
• (6+4)^2=64+36
• 100-36=64
• 64=64
• Originalmente el cuadrado medía 6*6m^2=36m^2 contra 100m^2
• La suma de las edades de A y B, es 84 y B tiene 8 años menos que A. Hallar ambas edades.
• A+B=84; A-8=B A+(A-8)=84 2A=84+8 2A=92 A=92/2 A=46; B+46=84; B=84-46; B=38; 46+38=84 A>B

Plantea y Resuelve:

• Pagué $87 por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero costó $5 más que el libro
• y $20 menos que el traje. ¿Cuánto pagué por cada cosa?
• Libro+traje+sombrero= 87 L+T+S=87; x+(x+5)+(x+5+20)
• L S T
• 3x+30=87; 3x=87-30; 3x=57; x=57/3; x=19 $19 cuesta el
• libro, $24 el sombrero y $44 el traje. 19+44+24=87
• La suma de 3 números enteros consecutivos es 156. Hallar los números.
• x+x+1+x+2=156; 3x+3=156; 3x=156-3; 3x=153
• x=153/3=51. 51+52+53=156

Plantea y Resuelve:

• La suma de las edades de A y B es 84 años, y B tiene 8 años menos que A. Hallar
• ambas edades.
• A+B=84; A=B+8; B+8+B=84; 2B=84-8
• 2B=76; B=38; A+38=84; A=84-38; A=46
• 46+38=84
• La suma de dos números es 540 y su diferencia es 32. Hallar los números.
• A+B=540; B-A=32; B=32+A; A+32+A=540;
• 2A=540-32; 2A=508; A=508/2; A=254; B=32+254;
• B=286
• A+B=540

Plantea y Resuelve:

• Hallar cuatro números enteros consecutivos cuya suma sea 74
• x+x+1+x+2+x+3=74; 4x+6=74; 4x=74-6
• 4x=68; x=68/4; x=17; 17+18+19+20=74
• Hallar dos números pares consecutivos cuya suma sea 194.
• x+x+2=194; 2x+2=194 2x=194-2;
• x=192/2; x=96; 96+98=194
• Pagué $325 por un caballo, un coche y sus arreos. El caballo costó $80 más que el
• coche y los arreos. $25 menos que el coche. Hallar los precios respectivos.
• 1 caballo+ 1 coche+ arreos=325
• x+80 + x + x-25 =325
• 3x+55=325; 3x=325-55
• X=270/3=90
• Ca=90+80=170
• Co=90
• Ar=90-25=65
• Ca+Co+Ar=325
• 170+90+65=325

Plantea y Resuelve:

• La suma de 3 números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65.
• Hallar los números.
• x+y+z=200; x+x-32+x-65=200
• 3x-97=200; 3x=200+97
• x=297/3=99. 99+67+34=x+y+z
• En un hotel de dos pisos hay 48 habitaciones si las habitaciones del segundo piso
• son la mitad de la del primero. ¿Cuántas habitaciones hay en cada piso?
• A+B=48
• A+1/2A=48
• 2/2A+1/2A=48
• 3/2A=48
• 3A=48*2
• A=96/3=32
• A+B=48
• 32+16=48
• A=Primer piso
• B=Segundo piso

Plantea y Resuelve:

• Si un número se multiplica por 8, el resultado es el número aumentado en 21.
• Hallar el número
• A+B=48
• A+1/2A=48
• 2/2A+1/2A=48
• 3/2A=48
• 3A=48*2
• A=96/3=32
• A+B=48
• 32+16=48
• A=Primer piso
• B=Segundo piso

Plantea y Resuelve:

• Si un número se multiplica por 8, el resultado es el número aumentado en 21.
• Hallar el número.
• x*8=8x=x+21; 8x=x+21; 8x-x=21; 7x=21; x=21/7=3
• La edad de María es el triplo de la de Rosa más quince años y ambas edades
• suman 59 años. Hallar ambas edades.
• M=3R+15 3R+R+15=59 4R=59-15 4R=44 R=44/4
• R=11. M=3(11)+15=33+15=48. R+M=59; 11+48=59

Plantea y Resuelve:

• La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro; la de Juan el triplo de la de Enrique
• Y la de Eugenio el doble de la de Juan. Si las cuatro edades suman 132 años. ¿Qué
• edad tiene cada uno?
• Enrique, Pedro, Juan, Eugenio=132.
• 1/2x + 2/2x +3/2x+ 6/2x=132
• 12/2x=132; 12x=132(2); x=132(2)/12
• X=264/12=22.
• Pedro=22
• Enrique=11
• Juan=33
• Eugenio=66
• Total=132
• La edad de María es el triplo de la de Rosa más quince años y ambas edades
• suman 59 años. Hallar ambas edades.
• M=3R+15 3R+R+15=59 4R=59-15 4R=44 R=44/4
• R=11. M=3(11)+15=33+15=48. R+M=59; 11+48=59
• La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro; la de Juan el triplo de la de Enrique
• Y la de Eugenio el doble de la de Juan. Si las cuatro edades suman 132 años. ¿Qué
• edad tiene cada uno?
• Enrique, Pedro, Juan, Eugenio=132.
• 1/2x + 2/2x +3/2x+ 6/2x=132
• 12/2x=132; 12x=132(2); x=132(2)/12
• X=264/12=22.
• Pedro=22
• Enrique=11
• Juan=33
• Eugenio=66
• Total=132

Plantea y Resuelve:

• Preguntando un hombre por su edad, responde: Si al doble de mi edad se quitan 17
• años se tendría lo que me falta, para tener 100 años. ¿Qué edad tiene el hombre?
• 2x-17=100-x
• 3x=100+17
• x=117/3
• x=39
• El hombre tiene 39 años
• El exceso de 8 veces un número sobre 60 equivale al exceso de 60 sobre 7 veces
• el número. Hallar el número
• 8x+60=60+7x
• x=60-60=0 El número es cero.
• 8(0)+60=60+7(0)
• 0+60=60+0; 60-60=0

Plantea y Resuelve:

• Dos ángulos suman 180° y el duplo del menor excede en 45° al mayor. Hallar los ángulos.
• x+y=180; 2y-45=x 2y-45+y=180
• 3y=180+45; 3y=225; y=225/3=75
• 105°+75°=180°
• Una varilla de 84 cm de longitud está pintada de rojo y negro. La parte
• roja es 4 cm menor que la parte pintada de negro. Hallar la longitud de cada parte.
• R+N=84; R=N-4. N-4+N=84; 2N=84+4; 2N=88
• N=88/2; N=44; R+44=84 R=84-44=40

Plantea y Resuelve:

• Un hacendado ha comprado doble de número de vacas que de bueyes. Por
• cada vaca pagó $70 y por cada buey $85. Si el importe de la compra fue de $2700,
• ¿Cuántas vacas y cuántos bueyes compró?
• V+B=2700; 2B(70)+B(85)=2700; 140B+85B=2700
• 225B=2700; B=2700/225=12; A=24.
• 24(70)+12(85)=2700; 1680+1020=2700

Plantea y Resuelve:

• Se han comprado 96 aves entre gallinas y palomas. Cada gallina costó 80 centavos
• Y cada paloma 65 centavos. Si el importe de la compra ha sido $69.30. ¿Cuántas
• gallinas y cuántas palomas se han comprado?
• G+P=96. G(0.80)+P(0.65)=69.30; 0.80(96-P)+(0.65)(P)=69.30
• 76.80-0.80P+0.65P=69.30; -0.80P+0.65P=69.30-76.80; -0.15P=-7.5
• P=7.5/0.15=50; 0.80(96-50)+(0.65)(50)=69.30;
• G(0.80)+50(0.65)=69.30; G(0.80)=69.30-32.50; G(0.80)=36.80
• G=38.80/0.80=46 Hay 46 gallinas y 50 palomas.