TEMA 3. INTRODUCCION A LA LOGICA MATEMATICA

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INTRODUCCION

Ciencia que estudia las forma de razonamiento utilizando un lenguaje claro, preciso y formal, precisándose el uso de símbolos y conectivos, que evitan ambigüedades

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PROPOSICIONES

Una proposición es una colección de palabras, números o símbolos, de las cuales tiene sentido el afirmar si es Verdadero o Falso. Y esta representada por las letras p, q, r, s, … etc.

Ejm. Son proposiciones la siguientes colección de palabras o símbolos

p : Los libros son buenos amigos

Es una proposición (V)

q : Los gatos ladran

Es una proposición es (F), es una proposición

r: Los hombres son mas inteligentes que las mujeres

Dependiendo del punto de vista se indicara si ( V) o (F). Lo importante es que es una proposición.

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NO SON PROPOSICIONES:

No son proposiciones cuando estas otras colecciones de palabras, números o símbolos, porque no se pueden afirmar si son verdaderas o falsas.

El perro de mi amigo

No tiene sentido el afirmar si es V o F. Por lo tanto no es una proposición

¡ Hola, como estas:

No es ni verdad ni falso. Por lo tanto no es una proposición

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Conectivos lógicos

Son términos de enlace entre proposiciones.

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Negación

La negación de la proposición p, es la proposición ～p (～p se lee «No p», o también «No es cierto que p»)

Si una proposición es Verdadera, su negación será Falsa, o viceversa.

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Ejm. 1. Una proposición y su negación

p : Es bueno el deporte para la salud

～p: No es bueno el deporte para la salud.

La doble negación

equivale a la proposición original

～(～ p) = p

Ejemplo 1. p: El Coronavirus mata a los humanos

～p: El coronavirus No mata a los humanos

～(～ p): No es cierto que: el coronavirus No mata a los humanos.

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LA CONJUNCION ∧ (y)

La conjunción de dos proposición: p,q, es una proposición compuesta, que se obtiene combinando p,q mediante el conectivo ∧ ( p∧q), se lee «p y q» )

En valor de verdad de la conjunción: p ∧ q, es verdadera cuando, tanto p como q son verdaderas, en cualquier otro caso es falso.

Conjunción lógica (Einbetten)

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Ejm. 1 Conformamos una conjunción a partir de dos proposiciones

p: El coronavirus mata al ser humano

q: Es una pandemia

p ∧ q: En coronavirus mata al ser humano y es una pandemia

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DISYUNCION INCLUSIVA

La disyunción inclusiva de dos proposiciones: p, q, se obtiene combinando; p, q mediante el conectivo v (p v q, que se lee «p o q», el o inclusivo se usara «o» y/o uno u otro, o ambas)

El valor de verdad de la disyunción inclusiva: p v q, es Falso, si son falsa las dos proposiciones, siendo verdadera en cualquier otro caso.

Ejm. 1 Conformamos una disyunción a través de las proposiciones simples

p: El señor José es abogado

q: El señor José es profesor

p v q: El señor José es abogado o es Profesor

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DISYUNCION EXCLUSIVA ( V )

La disyunción exclusiva de dos proposiciones: p, q, que se obtiene combinando; p, q con conectivo v (p v q, que se lee «p o exclusivo q»)

El valor de verdad de la disyunción exclusiva: p v q, es Falso, si los valores: p, q son iguales entre si, es verdadero si son diferentes.

Ejm. 1 Conformamos una disyunción exclusiva a partir de dos proposiciones simples

p: Luis Revilla y Marycruz Ribera se casaron en el Jardín Japonés

q: Luis Revilla y Marycruz Ribera se casaron en el Jardín Botánico

p v q: Luis Revilla y Marycruz Ribera se casaron en el Jardín Japonés o en el jardín botánico.

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IMPLICACION O CONDICIONAL ( ⇒ )

El condicional de dos proposiciones: p, q, se obtiene combinando p, q con conectivo ⇒ (p ⇒ q, que se lee «si p

entonces q»)

Ejm. 1 Conformamos una Condicional a partir de dos proposiciones simples.

p: Hace frio

q: Es invierno

p ⇒ q: Hace frio entonces es invierno.

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DOBLE IMPLICACION O BICONDICIONAL ⇒

El bicondiconal de dos proposiciones: p, q, se obtiene combinando p, q con conectivo ⇔ (p ⇔ q, que se lee «p si y solo si q»)

El valor de verdad del bicondicional es Verdadera, si los valores de p, q son iguales entre si, en otro caso es Falso.

Ejm. 1 Conformamos una Bicondicional a partir de dos proposiciones simples

p: Derrotamos al Coronavirus

q: Nos quedamos en casa

p⇔q: Derrotamos al Coronavirus si y solo si nos quedamos en casa.

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EQUIVALENCIAS LOGICAS

La tabla de equivalencia lógica nos permite demostrar la equivalencia lógica de las preposiciones simples y compuestas, cuando los resultados obtenidos son idénticos.

Se demuestra la equivalencia lógica p ∧ ( p ∨ q) = p

(1) Posibilidad de p (2) Posibilidad de q

(3) Resultado de: p V q (4) Resultado de p ∧ ( p ∨ q) = p

La columna (4) es idéntica a Columna (1), los que demuestra la equivalencia lógica

Equivalencias lógicas (Einbetten)

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TAUTOLOGIA, CONTRADICCIONES Y CONTINGENCIA

Una tautología es aquella proposición compuesta que es Verdadera, para cualquier valor de verdad de sus proposiciones componentes.

Una contradicción es una proposición compuesta que es Falsa, para cualquier valor de verdad de sus proposiciones componentes.

Ejm. a) ( p(p ∨ q)q) ⇒ pp

2. CONTINGENCIA, TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN (EJERCICIOS RESUELTOS) (Einbetten)

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