Berechnung von Nullstellen

Thema: Berechnung von Nullstellen

• > Arten von Funktionen
• > Fragestellungen
• > Die Vorbereitung
• > Die Berechnungarten
• > Ausklammern, Mitternachtsformel, Substitution, Polynomdivision
• > Die Fallunterscheidung
• > Die Nullstellen (Lösung) + Vielfachheiten
• > Das Skizzieren
• > Grenzwerte
• > Symmetrieverhalten

> Arten von Funktionen

• > lineare Funktionen f(x) = mx + t
• > z. B.: f(x) = 4x + 8
• quadratische Funktionen f(x) = ax² + bx + c
• > z. B.: f(x) = x² + 2x - 9
• ganz rationale Funktionen f(x) = ax³ + bx² + cx + d
• > z. B.: f(x) = x³ + 7x - 89x² - 1

> Fragestellungen

> Die Vorbereitung

• Die Angaben betrachten (= Gesucht u. Definitionsbereich!)
• Prüfen wie viele Nullstellen es gibt (ganzrat. Funkt. n-ten Gerades haben höchstens n-verschiedene NST; z. B. n = x³ (höchster Expo.) -> es gibt 3 NST
• Prüfen ob NST schon abzulesen
• Die Gleichung 0 setzen f(x) = 0

> Die Berechnungsart - Ausklammern

• Ausklammern (o. Parameter)
• Die Vorbereitung.
• Prüfe ob in jedem Faktor ein X vorhanden ist!
• Frage dich was am sinnvollsten auszuklammern ist. (x oder x²)
• Betrachte das Ausgeklammerte; d. h. f(x) = x(...) -> 1. einfache NST: 0 f(x) = x²(...) -> 1. doppelte NST: 0
• Finde heraus welche Berechnungsart an dem sich neu ergebenem Term geeignet ist (der in der Klammer) an, d. h. f(x) = x(x² + 8x + 3)
• Wende deine gewählte Berechnung an (hier: Mitternachtsformel; Fo.: 5)
• Zeige die Nullstellen auf die sich durch die MNF ergeben haben und vergesse dabei nicht Schritt 3! (Lösung; Fo.:10)
• Fertig! (Ein Beispiel findet ihr links)

> Die Berechnungsart - Mittern.-Formel

• Mitternachtsformel
• Die Vorbereitung.
• Prüfe ob x² und x vorhanden sind! (z. B. f(x)= x² + 8x + 3
• Bestimme A-B-C! (Tipp: neben dran schreiben!)
• Rechne -b + die Wurzel und -b - die Wurzel aus.
• !ACHTUNG! unter der Wurzel ein Minus = KEINE LÖSUNG!
• !ACHTUNG! unter der Wurzel eine 0 = EINE DOPP. NST!
• Zeige die NST auf die sich durch die MTN ergeben! (Lösung Fo.: 10)
• Fertig! (Ein Beispiel + die MNF findet ihr links)
• 

> Die Berechnungsarten - Substitution

• Substitution
• Die Vorbereitung
• Substitution
• Prüfe ob x^4 und x² im Term vorhanden sind
• Ersetze x^4 durch u² und x² durch u
• Berechne mit diesem Term die Nst (u1 und u2) mit der MNF
• Resubstitution
• Setze u1 und u2 in x² oder x^4 gleich.
• Ziehe die Wurzel und die NST ergeben sich.
• Zeige die NST auf die sich durch das Wurzel ziehen ergeben. (
• 

> Die Berechnungsarten - Polynomdivision

• Polynomdivision (o. Parameter)
• Polynomdivision (m. Parameter)

> Die Fallunterscheidung

> Die NST (Lösung) + Vielfachheiten

> Das Skizzieren