ESTUDIO DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

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ESTUDIO DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

La geometría analítica estudia con profundidad las figuras

geométricas ejemplo: sus distancias, sus áreas, puntos de intersección,

ángulos de inclinación, puntos de división, volúmenes, etc. Es un

estudio más profundo para saber con detalle todos los datos que tiene

las figuras geométricas.(DIG)

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HISTORIA DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

Existe una cierta controversia sobre la verdadera paternidad de este

método. Lo único cierto es que se publica por primera vez en 1637 como

"Geometría analítica", apéndice al Discurso del método, de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar Khayyam

ya en el siglo XI utilizara un método muy parecido para determinar

ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los

citados matemáticos franceses tuvieran acceso a su obra.

El nombre de geometría analítica corrió parejo al de geometría cartesiana, y ambos son indistinguibles. Hoy en día, paradójicamente, se prefiere denominar geometría cartesiana al apéndice del Discurso del método, mientras que se entiende que geometría analítica comprende no sólo a la geometría cartesiana (en el sentido que acabamos de citar, es decir, al texto apéndice del Discurso del método),

sino también todo el desarrollo posterior de la geometría que se base

en la construcción de ejes coordenados y la descripción de las figuras

mediante funciones —algebraicas o no— hasta la aparición de la geometría diferencial de Gauss

(decimos "paradójicamente" porque se usa precisamente el término

"geometría cartesiana" para aquello que el propio Descartes bautizó como

"geometría analítica"). El problema es que durante ese periodo no

existe una diferencia clara entre geometría analítica y análisis

matemático —esta falta de diferencia se debe precisamente a la

identificación hecha en la época entre los conceptos de función y curva—,

por lo que resulta a veces muy difícil intentar determinar si el

estudio que se está realizando corresponde a una u otra rama.

La geometría diferencial de curvas sí que permite un estudio mediante

un sistema de coordenadas, ya sea en el plano o en el espacio

tridimensional. Pero en el estudio de las superficies,

en general, aparecen serios obstáculos. Gauss salva dichos obstáculos

creando la geometría diferencial, y marcando con ello el fin de la

geometría analítica como disciplina. Es con el desarrollo de la

geometría algebraica cuando se puede certificar totalmente la superación

de la geometría analítica.

Es de puntualizar que la denominación de analítica dada a esta

forma de estudiar la geometría provocó que la anterior manera de

estudiarla (es decir, la manera axiomático-deductiva, sin la

intervención de coordenadas) se terminara denominando, por oposición, geometría sintética, debido a la dualidad análisis-síntesis.

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CONSTRUCCIONES FUNDAMENTALES

En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por dos números, llamados abscisa y ordenada del punto. Mediante ese procedimiento a todo punto del plano corresponden siempre dos numeros reales ordenados (abscisa y ordenada), y recíprocamente, a un par ordenado de números corresponde un único punto del plano. Consecuentemente el sistema cartesiano establece una correspondencia biunívoca entre un concepto

geométrico como es el de los puntos del plano y un concepto algebraico

como son los pares ordenados de números. Esta correspondencia constituye

el fundamento de la geometría analítica.

Con la geometría analítica se puede determinar figuras geométricas

planas por medio de ecuaciones e inecuaciones con dos incógnitas. Éste

es un método alternativo de resolución de problemas, o cuando menos nos

proporciona un nuevo punto de vista con el cual poder atacar el problema.

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LOCALIZACIÓN DE UN PUNTO EN EL PLANO CARTESIANO

Como Proyección Sobre Los Ejes

Se consideran dos rectas orientadas, (ejes) , perpendiculares entre sí, "x" e "y", con un origen común, el punto O de intersección de ambas rectas.

Teniendo un punto a, al cual se desea determinar las coordenadas, se procede de la siguiente forma:

Por el punto P se trazan rectas perpendiculares a los ejes, éstas determinan en la intersección con los mismos dos puntos, P' (el punto ubicado sobre el eje x) y el punto P'' ( el punto ubicado sobre el eje y).

Dichos puntos son las proyecciones ortogonales sobre los ejes x e y del punto P.

A los Puntos P' y P'' le corresponden por número la distancia desde ellos al origen, teniendo en cuenta que si el punto P' se encuentra a la izquierda de O, dicho número será negativo, y si el punto P'' se encuentra hacia abajo del punto O, dicho número será negativo.

Los números relacionados con P' y P'', en ese orden son los valores de las coordenadas del punto P.

Ejemplo 1: P' se encuentra a la derecha de O una distancia igual a 2 unidades. P'' se encuentra hacia arriba de O, una distancia igual a 3 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (2 , 3).

Ejemplo 2: P' se encuentra a la derecha de O una distancia igual a 4 unidades. P'' se encuentra hacia abajo de O, una distancia igual a 5 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (4 , -5).

Ejemplo 3: P' se encuentra a la izquierda de O una distancia igual a 3 unidades. P'' se encuentra hacia abajo de O, una distancia igual a 2 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (-3 , -2).

Ejemplo 4: P' se encuentra a la izquierda de O una distancia igual a 6 unidades. P'' se encuentra hacia arriba de O, una distancia igual a 4 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (-6 , 4).

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS