Matrices

Folie 1

Sistemas de ecuaciones lineales

• Existen numerosos modelos económicos que suelen utilizar sistemas de ecuaciones lineales. Este hecho convierte a los sistemas de ecuaciones lineales en uno de los modelos matemáticos centrales de la economías.
• Diremos que un sistema de ecuaciones es LINEAL en las variables x1,x2,x3,.... si todas las ecuaciones que lo forman son lineales respecto a x1,x2,x3,... es decir son de la formaa1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b
• donde a1,a2,...,an,b son números reales o bien son funciones dependientes de otras variables que no son x1,x2,...,xn.
• https://youtu.be/3FHhPLVUt9o (Einbetten)

El método de Gauss

• El
• método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro
• equivalente de forma que éste sea escalonado.
• Obtenemos
• sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:
• Todos los coeficientes son
• ceros.
• Dos filas son iguales.
• Una fila es proporcional a
• otra.
• Una fila es combinación
• lineal de otras.
• Criterios
• de equivalencia de sistemas de ecuaciones
• Si a ambos miembros de una
• ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el
• sistema resultante es equivalente.
• Si multiplicamos o
• dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto
• de cero, el sistema resultante es equivalente.
• Si sumamos o restamos a una
• ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante
• es equivalente al dado.
• Sin en un sistema se
• sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del
• sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta
• otro sistema equivalente al primero.
• Si en un sistema se
• cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro
• sistema equivalente.

El método de Gauss

• https://www.youtube.com/watch?v=9TcdXsKuOv0 (Einbetten)

Sistemas homogéneos de ecuaciones

• Definición:
• Un sistema de ecuaciones lineales se llama homogéneo si todas las constantes
• b1, b2,b3, …, bn son todas ceros. Esto
• es, el sistema es de la forma:
• 

Folie 6

• En
• general, al resolver un sistema de ecuaciones lineales encontramos como
• solución una de estas tres posibilidades: una solución única, ninguna solución
• o un número infinito de soluciones. Pero
• en un sistema de ecuaciones lineales homogéneo hay dos posibilidades: cero como
• solución (llamada solución trivial) o un número infinito de soluciones
• adicional a cero como solución (llamada solución no trivial).
• 

Matrices

• Una
• matriz es un arreglo de números reales distribuidos en filas y columnas, el
• cual están encerrados en paréntesis o corchetes. Las matrices generalmente se denotan con
• letras mayúsculas.
• 

Folie 8

• Para
• designar una matriz se emplean letras mayúsculas. Cada uno de los elementos de
• la matriz (aij) tiene dos subíndices. El
• primero i indica la fila a la que pertenece y el
• segundo j la columna.
• Esta
• es una matriz de m filas
• y n columnas, es decir, de dimensión m x n.
• Esta matriz también se puede
• representar de la forma siguiente: A =
• (aij) m x n.
• Si el número de filas
• y de columnas es igual ( m = n ),
• entonces se dice que la matriz es de orden
• n
• 

IGUALDAD DE MATRICES

• Dos
• matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que
• ocupan la misma posición en ambas son iguales
• Para que las
• matrices A y
• B sean iguales, se tiene que
• cumplir que a = 7 y b =
• 5
• 

Matrices

• https://www.youtube.com/watch?v=oGUA5PMcILk (Einbetten)

Referencia

• Uam(2016/03)Sistemas de ecuaciones lineales:
• generalidades. Recuperado el 08 de marzo de 2016 de https://www.uam.es/personal_pdi/economicas/portega/web-algebra/capitulo-4/teoria-4-1/4-1-generalidades.htm
• Bayamon (2016 /03) Sistemas de
• Ecuaciones Lineales Homogéneos. facultad.bayamon Recuperado el 08 de marzo de
• 2016 de http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/Sistemas%20Homog%C3%A9neos.htm
• Ditutor(2015) Metodo Gauss. Ditutor. Recuperado
• el 08 de marzo de 2016 de http://www.ditutor.com/ecuaciones_grado2/metodo_gauss.html
• Peña Alfredo (2006) Matrices. Descartes.
• Recuperado el 08 de marzo de 2016 de http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/matrices/matrices_definicion_y_tipos.htm

Comentario

• El uso mas importante es para resolver ecuaciones lineales de muchas variables en forma sistemática y compacta. (esto incluye problemas de física de muchos cuerpos y cualquier aproximación lineal de un problema no lineal)
• También se pueden crear las llamadas "matrices de transición" que son matrices que describen procesos de transición de estados cuánticos.
• La matriz es un elemento matemático que permite escribir muchos problemas en forma conveniente y compacta. Cualquier problema que lidie con ecuaciones lineales es directamente traducible a un problema de matrices