Karteikarten
18.2 Konvergenzkriterien für Reihen
Karten in diesem Stapel (29)
- 1Was ist das Majorantenkriterium?Wenn der Betrag der Glieder einer Reihe A stets kleiner gleich der Glieder einer anderen konvergenten Reihe B ist, dann ist A ebenfalls konvergent.
- 2Wie lautet das Majorantenkriterium formal?sei \( |a_n| \leq b_n \) und \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n\) konvergent so konvergieren \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n\) und \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|\)
und es gilt \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \leq \sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n\) - 3Was ist eine "Majorante"?Eine konvergente Reihe, die zu einer anderen Reihe so in Relation steht, dass ihre Glieder stets größer gleich der Glieder der anderen Reihe sind.
- 4Wie lautet das Majorantenkriterium für den allgemeinen Fall?Ist B eine konvergente Reihe mit nicht negativen Gliedern und gilt fast immer:
\( b_n \geq |a_n| \), so sind auch \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\) und \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|\) konvergent - 5Wozu dient das Minorantenkriterium?Dazu die Divergenz einer Reihe zu zeigen.
- 6Wozu dient das Majorantenkriterium?Damit kann die Konvergenz einer Reihe gezeigt werden.
- 7Wie lautet das Minorantenkriterium?Ist B eine divergente Reihe mit nicht negativen Gliedern und gilt fast immer \( a_n ≥ b_n \) , so ist auch
\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n = A \) divergent. - 8Wann kann man aus dem Quotientenkriterium die Konvergenz einer Reihe folgern ?Wenn gilt:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} ≤ q \)
für 0 < q < 1,
so ist die Reihe \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \) konvergent - 9Nenne ein Beispiel für eine divergente Reihe bei der der Quotient des Quotientenkriteriums kleiner 1 ist.Die harmonische Reihe.
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) - 10Wozu dient das Wurzelkriterium?dient dazu, die Konvergenz einer Reihe zu zeigen
- 11Wann ist eine Reihe nach dem Wurzelkriterium konvergent?ist die n-te Wurzel des Betrages des n-ten Gliedes für fast alle Glieder der Reihe < q mit 0 < q < 1, so ist die Reihe konvergent.
0< q < 1 \( \wedge \sqrt[n]{|a_n|} ≤ q \)
==> Reihe konvergent - 12Nenne ein Beispiel für eine divergente Reihe, bei der der Wurzelausdruck des Wurzelkriteriums < 1 ist.Die Reihe zu: \( a_n = \frac{1}{n} \)
also wieder die harmonische Reihe. - 13Was ist die sogenannte "Wurzelfolge"?Eine Folge von Gliedern
des Wurzelausrucks aus dem Wurzelkriterium zu einer gegeben Folge \(a_n\) - 14Was ist die sogenannte Quotientenfolge?Eine Folge aus den Quotientenausdrücken aus dem Quotientenkriterium zu einer gegebenen Folge \( (a_n) \)
- 15Wie kann aus der Quotientenfolge bzw. der Wurzelfolge die Konvergenz einer Reihe gefolgert werden?Wenn die Quotienten bzw. Wurzelfolge gegen einen Grenzwert
\( \alpha \) < 1 konvergieren. - 16Wann kann aus der Quotienten bzw. Wurzelfolge die Divergenz einer Reihe gefolgert werden?wenn diese gegen einen Grenzwert
\( \alpha \) > 1 streben - 17Welche Folgerung lässt sich für die Konvergenz einer Reihe ziehen, wenn die Quotienten bzw. Wurzelfolge = 1 ist?keine.
- 18Wie wird folgende Reihe genannt? \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{2n!} \)Cosinusreihe
- 19Aus welchen Exponenten und Fakultäten bestehen die Summanden in der Cosinusreihe? ( Abgesehen vom alternierenden Term: \( (-1)^n \) )Nur gerade Exponenten und Fakultäten.
- 20Wie lautet die Formel für die Sinusreihe?\( \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \)
- 21Welchen Exponenten und Fakultäten kommen in den polynomialen Termen der Sinusreihe vor?ausschließlich ungerade Exponenten und Fakultäten.
- 22Was ist die Binomialreihe?Eine Reihe bestehend aus Binomialkoeffizienten und einem polynomialen Term \(x^n\):
\( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n \) - 23Wann konvergiert die Binomialreihe?für |x| < 1 und \( \alpha ≠ \N_0 \)
- 24Wann divergiert die Binomialreihe?für |x| > 1 und \( \alpha ≠ \N_0 \)
- 25Was ist der Grenzwert der Binomialreihe für |x| < 1?\( (1+x)^{\alpha} \)
- 26Was ist eine alternierende Reihe?Eine Reihe deren benachbarte Glieder immer wechselnde Vorzeichen haben.
- 27Wozu dient das Leibnitzkriterium?Um die Konvergenz einer alternierenden Reihe zu bestimmen.
- 28Was besagt das Leibnitzkriterium?ist \( (b_n) \) eine monoton fallende Nullfolge , so konvergiert die alternierende Reihe :
\( \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_n \) - 29Welches Vorzeichen muss das erste Glied der Reihe haben, um das Leibnitzkriterium anwenden zu können?Das ist egal.
Informationen
- Beschreibung
- Mathematik (Grundlagen KE 6) Karteikarten am 18.2 Konvergenzkriterien für Reihen, erstellt von David Bratschke am 16/06/2017.
- Erstellt von
- David Bratschke
- Aufrufe
- 35
- Bewertung