Poliedros

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Un poliedro es, en el sentido dado por la geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. La palabra poliedro viene del griego clásico, de la palabra πολύεδρον, de “poli” muchas y “edron” caras. Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales.

1. Definición

2. Elementos de un poliedro

Caras: Son los polígonos que forman el poliedro. Aristas: Son los segmentos donde hacen intersección las caras. Vértices: Son los puntos donde hacen intersección las aristas. Ángulo diedro: Es el ángulo que forman dos caras que se cortan. Hay tantos como número de aristas. Ángulo poliedro: Determinados por las caras que inciden en un mismo vértice. Hay tantos como número de vértices.

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3. Tipos de poliedros

. Poliedros regulares . Poliedros irregulares . Convexos . Cóncavos

3.1. Poliedros regulares

Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por caras que son polígonos. Si todos los polígonos de sus caras son regulares e iguales y el número de caras que se unen en cada vértice es el mismo, decimos que el poliedro es regular. Un poliedro es regular si cumple estas dos condiciones: . Todas sus caras son polígonos regulares iguales. . En cada vértice concurren el mismo número de aristas. Existen solo 5 tipos de poliedros regulares: tetraedro, hexaedro o cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

3.3.1. Tetraedro

Características: . Su superficie está formada por 4 triángulos equiláteros iguales. . Tiene cuatro vértices y seis aristas. . Es una pirámide triangular regular.

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3.3.2. Hexaedro o cubo

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Características: . Su superficie está constituida por 6 cuadrados. . Tiene 8 vértices y 12 aristas. . Es un prisma cuadrangular regular.

3.3.3. Octaedro

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Características: . Su superficie está constituida por 6 cuadrados. . Tiene 8 vértices y 12 aristas. . Es un prisma cuadrangular regular.

3.3.4. Dodecaedro

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Características: . Su superficie consta de 12 pentágonos regulares. . Tiene 20 vértices y 30 aristas.

3.3.5. Icosaedro

Características: . Su superficie consta de veinte triángulos equiláteros. . Tiene 12 vértices y 30 aristas.

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3.4. Poliedros irregulares

Los poliedros irregulares son poliedros cuyas caras son polígonos no todos iguales. Principalmente se clasifican por el número de caras que tiene su superficie: Tetraedro: poliedro irregular con cuatro caras Pentaedro: poliedro irregular con cinco caras Hexaedro: poliedro irregular con seis caras Heptaedro: poliedro irregular con siete caras Octaedro: poliedro irregular con ocho caras Eneaedro: poliedro irregular con nueve caras Decaedro: poliedro irregular con diez caras

Dos casos singulares de tetraedro irregular son el tetraedro trirrectángulo y el tetraedro isofacial. El tetraedro trirrectángulo tiene tres caras que son triángulos rectángulos, de los que sus ángulos rectos concurren en un mismo vértice. Las cuatro alturas de este tetraedro irregular concurren en un punto. Es ortocéntrico. El tetraedro isofacial es otro tetraedro irregular cuya base es un triangulo rectángulo y sus tres cares laterales son tres triángulos isóceles iguales. Es una pirámide triangular regular. Dos de las clases fundamentales de los poliedros irregulares son las pirámides y primas.

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3.5. Poliedros convexos

Un poliedro se llama convexo si todo él está en el mismo semiespacio respecto al plano de cada una de sus caras, es decir, al prolongar cualquiera de sus caras, éstas no cortan al poliedro.

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3.6. Poliedros cóncavos

Poliedro cóncavo es el que tiene alguna cara cuyo plano atraviesa a la figura, o sea, existe alguna cara que, al prolongarla, corta al poliedro.

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4. Fórmula de Euler

El teorema de Euler para poliedros establece una relación entre: los números de caras (C), aristas (A) y vértices (V) que se cumple para todo poliedro convexo. La relación es la siguiente:   C + V = A + 2 Siendo: C : el número de caras V : el número de vértices A : el número de aristas                                  

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