Trigonometria

ECUACIONES CUADRÁTICAS

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• Caption: Nicolle Tenorio Camargo 10-1

ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETAS

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• Una ecuación cuadrática o de segundo grado es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2. Así, ax² + bx + c = 0 es una ecuación de segundo grado. En esta ecuación La “x” es la variable o incógnita y las letras a, b y c son los coeficientes, los cuales pueden tener cualquier valor, excepto que a = 0.

ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETAS

• Son ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0 que tienen un término x2, un término x y un término independiente de x.
• Entonces podemos afirmar que la ecuaciíon 2x²+ 5x + 3 = 0 es una ecuación cuadrática completa.
• Cuando están presentes los 3 términos de la ecuación:
• * Término cuadrático, por ejemplo: 4X2
• * Término lineal, por ejemplo: -2X
• * Término independiente, por ejemplo: 8
• La ecuación anterior sería: 4X2 - 2X + 8 = 0
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ECUACIONES CUADRÁTICAS INCOMPLETAS

• Son ecuaciones de la forma ax² + c = 0 que carecen del término x o de la forma ax² + bx = 0 que carecen del término independiente.
• Entonces podemos afirmar que la ecuación, 2x²+ 3 =0 y 2x² + 5x son ecuaciones cuadráticas incompletas.
• Las ecuaciones cuadráticas incompletas se dividen en 2 partes:
• Puras: Para resolver las ecuaciones cuadráticas incompletas puras de la forma ax2 + c = 0, deberás despejar la incógnita. Para esto pasamos c al segundo miembro, luego a y por último el cuadrado de x.
• Mixtas: Si falta el término independiente c, la ecuación es incompleta y tendrá la forma: ax² + bx = 0. Se le llama Cuadrática mixta. Como su forma general es ax² + c = 0, conviene resolver simultáneamente tanto la ecuación como su forma general para obtener, con ello, una fórmula que se aplique a este tipo de ecuaciones.
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EJEMPLO DE E.C. INCOMPLETA PURA

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• Caption: Entonces, las raíces (o soluciones) de una ecuación cuadrática incompleta pura son:
• Caption: Si a y c tienen el mismo signo, las raíces son imaginarias por ser la raíz cuadrada de una cantidad negativa, y si tienen signo distinto las raíces son reales.

EJEMPLO DE E.C. INCOMPLETA MIXTA

RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

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• Caption: Son los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación. Toda ecuación cuadrática tiene dos raíces.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

• Para dar solución a un sistema de ecuaciones cuadráticas debemos hallar las raíces de la ecuación. Para ello necesitamos hacer uso de la fórmula:
• x = [ – b ± √(b2 – 4ac) ] / 2a
• El “±” expresa que la ecuación tiene ¡DOS SOLUCIONES! La parte “b2 – 4ac” se le denomina discriminante:
• * Si es positivo, hay DOS soluciones
• * Si es cero sólo hay UNA solución
• * Si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios
• Ejemplo: Resolver la ecuación cuadrática 2x2 + 5x + 3 = 0.
• Los coeficientes son: a = 2; b = 5 y c = 3.
• Los sustituimos en la fórmula:
• x= [ – b ± √( b2 – 4ac) ] / 2a → x = {- 5 ± √ [52 – 4(2)(3)] } / [2(2)]
• Resolvemos:
• x = { – 5 ± √[25 – 24] } / 4 = {-5 ± √1} / 4
• x1 = {- 5 + 1 } / 4 ; x2 = {- 5 – 1} / 4
• x1 = – 1 ; x2 = – 3/2
• Ejemplo: Resolver la ecuación cuadrática x2 – 12x + 36 = 0.
• Los coeficientes son: a = 1; b = – 12 y c = 36.
• Los sustituimos en la fórmula:
• x = [ – b ± √(b2 – 4ac) ] / 2a → x = {- (-12) ± √[(-12)2– 4(1)(36)] } / [2(1)]
• Resolvemos:
• x = {12 ± √ [144 – 144] } / 2 = 12 / 2 = 6
• x1 = x2 = 6