Números irracionales - Parte 1

¿De donde nacen los números irracionales?

Los números irracionales son todos los números que NO SE PUEDEN EXPRESAR COMO UNA FRACCIÓN. Otra definición que es equivalente a la anterior es que los números irracionales son todos aquellos números que su EXPANSIÓN DECIMAL ES INFINITA Y SIN PERÍODO.Conocemos algunos de estos números desde enseñanza básica, como por ejemplo el número \(\pi \). Sin embargo existen muchos otros números irracionales. La mayoría de las veces aparecen al solucionar problemas geométricos, especialmente al usar el Teorema de Pitágoras.

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Caption: : Descripción de los decimales del número \(\pi \)

¿Qué nos dice el Teorema de Pitágoras?

El Teorema de Pitágoras nos muestra una relación que se cumple en todo triángulo rectángulo, esta relación es la que se describe en la imagen de la derecha.Esta igualdad nos permite descubrir el valor de uno de los lados de un triángulo rectángulo (si es que sabemos los valores de los otros dos lados).Por ejemplo, si nos dicen que en un triángulo rectángulo uno de sus catetos es 6 y su hipotenusa es 10 entonces usando el Teorema de Pitágoras (asumiendo que el otro cateto es \(x\)) nos queda:\(x^2+6^2=10^2\)\(x^2+36=100\)\(x^2=100-36\)\(x^2=64\)\(x=\sqrt{64}=8\)Por lo tanto el otro cateto mide 8.

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Caption: : Teorema de Pitágoras.

Existen raíces de diferente índice.

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Caption: : Elementos de una raíz.

Cuando se nos presenta una raíz cuadrada (\(\sqrt{a}\)), notamos que esta raíz no tiene número en su índice. Esto ocurre cuando el índice de la raíz es 2. En este caso el número se omite. En el caso que el índice sea otro número natural, el índice debe estar expresado en la raíz, por ejemplo \(\sqrt[3]{2}\).El índice tiene relación con el número que buscamos. Por ejemplo, si tenemos \(\sqrt[3]{64}\), estamos buscando un número \(x\) tal que al elevarlo al índice de la raíz, es decir 3, nos dé como resultado la cantidad subradical, es decir 64. En una ecuación sería lo siguiente: \(x^3=64\) Luego \(x=4\)Ya que \(4^3=4\cdot 4 \cdot 4=64\)

Algunos ejemplos de raíces exactas.

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Caption: : Algunas raíces cuadradas exactas.

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Caption: : Algunas raíces exactas de índice 3 y 4.

Algunas propiedades de las raíces

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Caption: : La multiplicación y la división permiten unir las raíces de un mismo índice en una sola raíz.

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Caption: : Ni la suma ni la resta permiten unir raíces de un mismo índice en una sola raíz.

¿Cómo comparar raíces si no son exactas?

Si las raíces no son exactas se deben llevar todas a la forma:\(\sqrt{a}\)Es decir, no puede quedar nada fuera de la raíz. Para ingresar valores que están fuera de la raíz, se ocupan las propiedades de la multiplicación y división de raíces de un mismo índice (vistas en la diapositiva anterior).Por ejemplo, ¿Qué número es mayor entre los siguientes?\(2\sqrt{3}, 3\sqrt{2}, \frac{\sqrt{12}}{2}\)La solución de este problema se puede apreciar en la imagen del lado derecho.

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Caption: : Solución del problema planteado.

¿Cómo se forma el conjunto \(\mathbb{R}\)?

El conjunto \(\mathbb{R}\) será igual a la unión de los conjuntos de los números racionales e irracionales. Esto quiere decir que:\(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{Q}^{*}\)

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Caption: : Caracterización de los primeros conjuntos numéricos.

Algunas propiedades de los números reales.

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Un ejemplo de aplicación de \(\mathbb{R}\)

Supongamos que nos piden calcular el área y el perímetro de la figura que aparece en el lado derecho.Para calcular el perímetro solo nos falta saber la longitud de la semicircunferencia. Para ello necesitamos saber el radio de la circunferencia. Este radio será la mitad de la hipotenusa del triángulo. Para calcular la hipotenusa del triángulo usamos el Teorema de Pitágoras:\(2^2+2^2=x^2\)\(4+4=x^2\)\(8=x^2\)Aplicando \(\sqrt{\space}\)\(\sqrt{8}=x\)Lo cual reduciendo nos queda:\(x=\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{2}=2\sqrt{2}\)Por lo tanto la hipotenusa mide \(2\sqrt{2}\), y el radio de la circunferencia (como era la mitad de la hipotenusa) medirá \(\sqrt{2}\).

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Continuación del problema (Perímetro)

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El perímetro de la circunferencia será igual a:\(P=2\cdot \pi \cdot r=2\cdot \pi \cdot \sqrt{2}=2\sqrt{2}\pi\)Pero como queremos solo la mitad de este perímetro, nos queda:\(\frac{2\sqrt{2}\pi}{2}=\sqrt{2}\pi\)De este modo el perímetro de la figura será igual a:\(2+2+\sqrt{2}\pi=4+\sqrt{2}\pi\)

Continuación del problema. (Área)

Continuación del problema. (Área)

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El área de la figura será igual a la suma de las áreas del triángulo y del semi-círculo.El área del triángulo es igual a:\(\frac{Base\cdot Altura}{2}\)Sin embargo, como se trata de un triángulo rectángulo, esto se transforma a:\(\frac{Cateto\cdot Cateto}{2}=\frac{2\cdot 2}{2}=\frac{4}{2}=2\)Por otro lado el área del círculo será igual a:\(\pi\cdot r^2=\pi\cdot (\sqrt{2})^2=\pi\cdot 2=2\pi\)Pero como queremos solo la mitad del círculo, nos queda:\(\frac{2\pi}{2}=\pi \)Por lo tanto, el área de la figura total será igual a:\(2+\pi\)

Un video explicativo que recomiendo

https://www.youtube.com/watch?v=siysHF1FiAs (Embed)

Ya están listos para volver a hacer el Test 1.

• Test 1. II medio

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