Axiomas (Suma y Multiplicación) de Espacios Vectoriales

Axiomas (Suma y Multiplicación) de Espacios Vectoriales

1. Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo), con 8 propiedades fundamentales.

   • Un espacio vectorial sobre un cuerpo k (como los números reales o los números complejos) es un conjunto V no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado
     • La suma de vectores, o simplemente suma, es una regla o función que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a este se le representar´a como u ⊕ v.
       • En una suma de vectores, no importa el orden cómo asocien la sumas entre dos; el resultado ser´a siempre el mismo.
     • Notación. Si “x” y “y” están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como “x + y” y el producto escalar de a y x como ax
       • Axiomas de un espacio vectorial.
         • Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.
         • Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z).
         • Existe un vector | 0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X.
         • Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0
         • Si X y Y están en V y a es un ecalar, entonces a(x+y)= ax + ay

2. Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otra llamada mulitplicación de un escalar por un vector

   • La multiplicación es una regla que asocia a un escalar y a un vector, digamos c y u un segundo vector representado por c u
     • Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos y cada uno de los siguientes axiomas:

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