2 .0 INFERENCIA ESTADISTICA :ESTIMACION

2 .0 INFERENCIA ESTADISTICA :ESTIMACION

1. 2.1 CONCEPTOS BASICOS

   • CONJUNTO DE METODOS ESTADISTICOS QUE PERMITEN INFERIR COMO SE DISTRIBUYE LA POBLACION EN ESTUDIO O LAS RELACIONES ESTOCADISTICAS ENTRE VARIAS VARIABLES DE INTERES APARTIR DE LA INFORMACION QUE PROPORCIONA UNA MUESTRA
     • POBLACION
       • estudia una o varias características que son, de alguna forma, observables
     • MUESTRA
       • es un subconjunto de la población
     • MUESTREO ALEATORIO SIMPLE
       • es aquel en el que todos los individuos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos
     • MUESTRA ALEATORIA SIMPLE
       • es un conjunto de n variables aleatorias X1,X2,...,Xn,
     • ESPACIO MUESTLAL
       • es el conjunto de muestras posibles que pueden obtenerse al seleccionar una muestra aleatoria,
     • PARAMETRO
       • es cualquier característica medible (media, varianza,..).
     • ESTADISTICO
       • Por tanto, es una variable aleatoria que tiene una función de distribución que se denomina
     • PROPIEDAD DE LOS ESTIMADORES
       • Sea ^h n = ^h n(X ,X ,... ,X ) 1 2 n un estimador del parámetro h

2. 2.2 DISTRIBUCION DEL MUESTREO

   • es la distribución de probabilidad de una muestra de una población en lugar de toda la población.
     • pueden variar dependiendo de cuán pequeña sea la muestra en comparación con la población
     • media
       • cuando la muestra que se toma es grande, conocido como el teorema del límite central.
     • desviación estándar
       • es diferente para la distribución de muestreo en comparación con la población
     • VARIANZA
       • es empleada para inferir la varianza de la población, mediante la distribución de muestreo

3. ESTIMACION PUNTUAL

   • El objetivo de la estimación puntual es aproximar el valor del parámetro desconocido. Para ello se utiliza la información de la muestra ( x 1 , x 2 , … , x n ) , a través de un estimador.
     • Algunos estimadores frecuentes son
       • Media muestral
         • para estimar la media teórica de una variable X . ¯ x = x 1 + ⋯ + x n n
       • Proporción muestral
         • para estimar una proporción p : ˆ p = x 1 + ⋯ + x n n , siendo x 1 , … , x n una muestra aleatoria simple de la variable X ∈ B ( 1 , p ) , es decir, son unos o ceros.
       • Varianza muestral
         • para estimar la varianza teórica de una población, se puede usar la varianza de una muestra: S 2 = ( x 1 − ¯ x ) 2 + ⋯ + ( x n − ¯ x ) 2 n ,
       • Cuasi-varianza muestral
         • para estimar la varianza teórica de una población, se puede usar la varianza de una muestra: S 2 = ( x 1 − ¯ x ) 2 + ⋯ + ( x n − ¯ x ) 2 n ,

4. ESTIMACION DE INTERVALOS

   • La estimación por intervalos consiste en establecer el intervalo de valores donde es más probable se encuentre el parámetro.
     • Parámetro  (estimador + z x EE del estimador)
       • El intervalo de confianza calculado dependerá de:
         • estimado en la muestra
           • (porcentaje, media,..) El I.C. está formado por valores ligeramente menores y mayores que la aproximación ofrecida por la muestra.
         • tamaño muestral
           • Cuantos más datos hayan participado en el cálculo, más pequeño esperamos que sea la diferencia entre el valor estimado y el valor real desconocido.

5. intervalo de confianza para medias

   • distribución Normal
     • el objetivo es la construcción de un intervalo de confianza para el parámetro μ, basado en una muestra de tamaño n de la variable.
       • Caso de varianza conocida
         • Dada una muestra X1, ..., Xn, el estadístico
           • se distribuye según una Normal estándar. Por tanto, aplicando el método del pivote podemos construir la expresión
             • donde zα/2 es el valor de una distribución Normal estándar que deja a su derecha una probabilidad de α/2, de la que se deduce el intervalo de confianza
       • Caso de varianza desconocida
         • Dada una muestra X1, ..., Xn, el estadístico
           • se distribuye según una t de Student de n − 1 grados de libertad. Por tanto, y siguiendo pasos similares a los del apartado anterior, el intervalo de confianza resultante es
             • donde tα/2 es el valor de una distribución t de Student con n − 1 grados de libertad que deja a su derecha una probabilidad de α/2.

6. intervalo de confianza para diferencia entre medias

   • se debe saber si las varianzas poblacionales son conocidas o desconocidas
     • Para calcular el intervalo de confi anza para la diferencia de dos medias
       • se debe saber si las varianzas poblacionales son conocidas o desconocidas
         • desconocidas
           • se debe probar si son igual es o diferentes.
             • Cada uno de estos tres casos se analizarán por separado
         • una distribución normal
     • El objetivo es construir un intervalo de confianza, con nivel de confianza (1 − α) · 100 %, para la diferencia de medias µ1 − µ2
     • si las dos poblaciones son normales, o aproximadamente normal
       • si cumple con las condiciones del teorema del limite central

7. intervalo de confianza para proporciones

   • sirve para calcular la estimacion de la proporcion de elementos de una poblacion que tiene ciertas caracteristicas de interes
     • Considerar la aproximación asintótica de la distribución Binomial en la distribución Normal.
       • Tiene la ventaja de la simplicidad en la expresión y en los cálculos, y es la más referenciada en la mayoría de textos de estadística
         • Se basa en la aproximación
     • Utilizar un método exacto.
       • Es posible demostrar que un intervalo exacto para el parámetro p viene dado por los valores siguientes:

8. intervalo de confianza para diferencias entre proporciones

   • Este intervalo puede utilizarse de manera alternativa al contraste de hipótesis
     • donde el símbolo zα/2 es el mismo valor crítico que antes, prob(Z > zα/2) = α/2, y corresponde a un intervalo de confianza 1 − α %
       • Un intervalo puede utilizarse de manera alternativa al contraste de hipótesis para decidir
         • Aunque se haga el contraste de dos proporciones, en primer lugar, es aconsejable obtener el intervalo de confianza de la diferencia de medias
           • si éste ha resultado significativo, puesto que ayudará a interpretar si existe significación aplicada además de la estadística.

9. intervalo de confianza para varianza

   • el objetivo es la construcción de un intervalo de confianza para el parámetro σ, basado en una muestra de tamaño n de la variable
     • Para estimar un intervalo de confianza para la varianza, nos ayudaremos de la siguiente propiedad de la distribucion x2:
       • Un intervalo de confianza al nivel 1 − α para la varianza de una distribuci´on gaussiana (cuyos par´ametros desconocemos) lo obtenemos como
         • Ejemplo
           • Se estudia la altura de los individuos de una ciudad, obteni´endose en una muestra de tama˜no 25 los siguientes valores:
             • x = 170 cm S = 10 cm
               • Calcular un intervalo de confianza con α = 0, 05 para la varianza σ 2 de la altura de los individuos de la ciudad.
                 • Solucion:
                   • σ 2 ∈ [63, 45 ; 201, 60]

10. intervalos de confianza para razones de dos varianzas

    • Supondremos la existencia de dos poblaciones sobre las que una determinada variable sigue una distribución Normal.
      • Sobre la población 1 la variable sigue una distribución N(µ1, σ1) y sobre la población 2 sigue una distribución N(µ2, σ2).
        • dos muestras aleatorias independientes
          • El objetivo es construir un intervalo de confianza, con nivel de confianza (1 − α) · 100 %, para el cociente de varianzas
            • Las circunstancias específicas para la construcción de este intervalo son las siguientes
              • Intervalo para el cociente de dos varianzas poblacionales
                • Evidentemente si plantemos medir la diferencia entre las varianzas , cuanto más próximo se la razón a la unidad menor diferencia habrá entre las varianzas y lógicamente cuando la razón entre estas difiera mucho de 1 ,la diferencia entre varianzas será mas ostensible.

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