Secciones cónicas- Luis David Meza Henao 10ºB

Son la intersección de un plano y un cono de doble hoja.
1. Un cono de doble hoja se refiere a dos conos opuestos por el vértice.
2. Si el plano pasa por el vértice se crea una:
  1. Sección cónica degenerada
    1. De las cuales hay tres tipos:
      1. Punto
      2. Recta
      3. Par de rectas
        Pueden ser
        Paralelas
        Intersecantes
    2. Gráficas:
Tipos
1. Circunferencia
  1. Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano (contorno) que equidistan de otro punto del mismo plano llamado centro
    1. Elementos
      1. Centro
      2. Radio
        Distancia común de todos los puntos al centro
        El diámetro es el doble del radio
      3. Punto
        Todo punto que forma parte de la línea de la circurferencia
      4. Cuerda
        Segmento formado por puntos del borde en el interior de la circunferencia que no pasa por el centro
  2. Gráfica
  3. Ecuaciones
    1. General
      1. x2+y2+Dx+Ey+F=0
    2. Canónica
      1. (x-h)2 + (y-k)2 = r2
        Cuando el centro no es el origen del plano
      2. x+y= r
        En el origen del plano
  4. Ejemplos cotidianos
    1. La rueda de una bicicleta, que además tiene radios puestos allí
    2. Para la fabricación de CDs se utilizan las técnicas del radio y del diámetro de la circunferencia
2. Elipse
  1. Es el conjunto de puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos es constante
    1. Elementos
      1. Focos
        Son los puntos fijos
      2. Eje focal
        Recta que pasa por los focos
      3. Vértices
        Son los puntos donde la elipse corta al eje focal
      4. Eje mayor
        Es el segmento cuyos extremos son los vértices a mayor distancia de la figura
      5. Centro
        Es el punto medio de la elipse
      6. Eje menor
        Es el segmento perpendicular al eje mayor y que pasa por el centro
      7. Distancia focal
        Es la distancia entre los dos focos
  2. Gráfica
  3. Ecuaciones
    1. Canónica
      1. (x2/a2) + (y2/b2) = 1
        a>b>0
    2. General
      1. Ax2+By2+Cx+Dy+E=0
  4. Ejemplos de la vida cotidiana
    1. Las órbitas de los planetas son elipses
    2. Algunas máquinas de gimnasia poseen poleas elípticas, así a través de sus poleas puede transmitir una fuerza y permitir ejercitar a un atleta.
3. Parábola
  1. Es el conjunto de puntos de un plano equidistantes a un punto y recta fijos
    1. Elementos
      1. Directriz
        Es la recta fija
      2. Foco
        Es el punto fijo
      3. Eje focal
        Recta que pasa por el foco, perpendicular a la directriz
      4. Vértice
        Es el punto donde el eje focal corta a la parábola
      5. Lado recto
        Segmento perpendicular que pasa por el foco. Sus extremos son dos puntos de la parábola
  2. Gráfica
  3. Ecuaciones
    1. General
      1. x2+Ax+By+C = 0
    2. Canónica
      1. y2=2px
      2. x+p=0
  4. Ejemplos cotidianos
    1. Al lanzar un balón de baloncesto hacia la canasta se forma una parábola
    2. En los puentes colgantes, la forma parabólica permite a las fuerzas de compresión que deben transferirse a las torres sostener el peso del tráfico
4. Hipérbola
  1. Es un conjunto de puntos del plano tales que la resta de las distancias de cualquiera de ellos a los dos puntos fijos es una constante positiva
    1. Elementos
      1. Eje focal
      2. Eje transverso
      3. Eje imaginario
      4. Focos
      5. Centro
      6. Radios vectores
      7. Vértices
      8. Distancia focal
    2. Gráfica
  2. Ecuaciones
    1. Canónica
      1. (x2/a2) - (y2/b2) = 1
    2. General
      1. Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey=cte
  3. Ejemplos cotidianos
    1. En arquitectura la forma de hipérbola es utilizada en el diseño de edificios.
    2. El diseño de puentes que se sostienen con cables es un ejemplo de aplicación de una hipérbola.
Historia.
1. Descubiertas por el griego Menecmo (350 A.C)
  1. Luego estudiadas por Apolonio de Perga (262-190 A.C)
    1. Encontró la propiedad plana que las define
    2. Descubrió que se podían clasificar en:
      1. Elipse
      2. Parábola
        Son las secciones cónicas NO degeneradas
        Elipse
        Hipérbola
        De ellas, determinó sus propiedades de reflexión
        De aquí surgieron:
        Espejos hiperbólicos
        Espejos elípticos
        Espejos parabólicos
      3. Hipérbola
  2. Siglo XVI:
    1. René Descartes (1596-1650)
      1. Relacionó las figuras cónicas con ecuaciones
        Creando así la geometría analítica
  3. Siglo XVII
    1. Jan de Witt (1629-1672)
      1. Propone que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones cónicas
    2. Johannes Kepler (1570-1630)
      1. Descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses
    3. Isaac Newton (1642-1727)
      1. Demostró que la órbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva cónica.
Conclusiones
1. Se puede notar más interés hacia el estudio del tema, debido a la adquisición de conocimientos tales como ejemplos cotidianos de cada sección cónica. Esto permite que la disciplina sea más amigable a la hora de aprender, pues tiene utilidad y practicidad
2. Al conocer la historia de las secciones cónicas y las necesidades que detonaron su estudio, se hace mucho más fácil comprender la razón de la enseñanza de conceptos similares.
Reflexiones
1. Tras la comprensión de las razones de estudio de las secciones cónicas a través de la historia, surge un interés mucho mayor por hacerse conocedor de esto aplicado a otros temas relacionados.
2. Se produjo una mayor facilidad para la memorización de los conceptos consultados, pues al conocer los beneficios para la vida real de este tema, se guardan en la mente como experiencias posiblemente útiles

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