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Função Modular

Vivi 0555 Portugués

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Função Modular

Equações Modulares:
- Equações modulares são aquelas em que a incógnita aparece dentro de módulos.
  - Propriedade: |x|=k x=k ou x=-k
    - Exemplo:
      - Resolva as equações:
        |x-3|=5 Esse x - 3 pode valer 5 ou -5.
        x-3=5 ou x-3=-5
        x=5+3 ou x= -5+3
        x=8 ou x= -2
        A solução para essa equação é: S {-2, 8}
        |2x+1|=-4 NÃO HÁ VALORES DE X QUE FAÇAM ESSA EQUAÇÃO VERDADEIRA. S = ∅
        para x ≠ 3. Esse valor dentro do modulo pode valer 2 ou -2.
        Temos aqui uma equação modular do 2° grau.
        Onde tivermos |x| colocaremos y: |x|=y
        Descobriremos o discriminante:
        Para encontrar a raiz fazemos a fórmula de bhasckara:
        Vamos substituir essas raízes na mudança das variáveis:
        |x|=y
        |x|=5 (esse 5 pode ser + ou -) ou |x|= -2 (isso não pode acontecer, então será ∅.
        A solução será: S {-5, 5}
        Tudo que está dentro do modulo pode ser igual a +1 ou -1.
        Vamos igualar a +1:
        Resolvendo o discriminante:
        Para encontrar a raiz fazemos a fórmula de bhasckara:
        Agora vamos igualar a
        Resolvendo fica:
        Como essa equação está incompleta resolvemos ela assim:
        Então a solução é S = {-1, 0, 1, 2}
        Agora temos uma equação do 2° grau:
        Para encontrar a raiz fazemos a fórmula de bhasckara:
        Onde tivermos |x| colocaremos y: |x|=y
        Descobriremos o discriminante:
        Para encontrar a raiz fazemos a fórmula de bhasckara:
        Vamos substituir essas raízes na mudança das variáveis:
        |x|=y
        |x|=3 (esse 3 pode ser + ou -) ou |x|= -6 (isso não pode acontecer, então será ∅).
        A solução será: S {-3, 3}
        |2x-7|=|x+4| Seguiremos a propriedade |a|=|b| a = b ou a = - b
        Primeiramente diremos que o 2x – 7 = x + 4 e depois diremos que o 2x -7 = - x – 4
        Resolvendo o 2x – 7 = x + 4 → 2x – x = 4 + 7 → x = 11
        Resolvendo o 2x -7 = - x – 4 → 2x + x = - 4 + 7 → 3x = 3 → x = 3/3 x = 1
        A solução fica: S {1, 11}
        |x+1|=2x-6 O resultado de 2x-6 tem de ser maior ou igual a 0.
        Como o x tem de ser maior ou igual a 3 e o 5/3 é menor do que 2 ele não faz parte da solução.
        A solução fica: S {7}
Graficamente:
- O gráfico será dado por uma sentença.
  - Para valores maiores ou iguais a 0 o módulo de x assume exatamente o valor x :
    - x ≥ 0 → f (x) = x
      - De acordo com a tabela vamos marcar os pontos no gráfico:
        Para valores menores do que 0 o módulo de x assume exatamente o valor - x:
        x < 0 → f (x) = - x
        De acordo com a tabela vamos marcar os pontos no gráfico:
        O domínio da função modular é o próprio conjunto dos reais. D = R
        O contradomínio da função modular é o próprio conjunto dos reais. CD = R
        O conjunto imagem da função modular é conjunto dos reais positivos
        Construção do gráfico utilizando a translação:
        A translação é mover o vértice.
        f (x) |x|+3 Como o número que acompanha o |x| está fora do módulo esse gráfico é na vertical e também por ele ser positivo essa translação ocorre para cima. O vértice foi movido 3 unidades para cima.
        f (x) |x|-2 Como o número que acompanha o |x| está fora do módulo esse gráfico é na vertical e também por ele ser negativo essa translação ocorre para baixo. O vértice foi movido 2 unidades para baixo.
        f (x) |x-1| Como o número que acompanha o |x| está dentro do módulo esse gráfico é na horizontal e também por ele ser negativo essa translação ocorre para o lado direito. O vértice foi movido 1 unidade para a direita.
        f (x) |x+2| Como o número que acompanha o |x| está dentro do módulo esse gráfico é na horizontal e também por ele ser positivo essa translação ocorre para o lado esquerdo. O vértice foi movido 2 unidades para a esquerda.
        f (x) |x-2|+1 Como há 2 números acompanhando o |x|, um deles (-2) está dentro do modulo então o gráfico sofrera uma translação horizontal para a direita e o outro (+1) se encontra fora do modulo fazendo com que o gráfico seja transladado para cima uma unidade.
        O domínio dessa função é o conjunto dos reais. D = R
        O contradomínio da função é o dos reais. CD = R
        O conjunto imagem da função modular é [ 1, + ∞)
        f (x) |x+1|-3
        O gráfico intersecta o eixo y no -2, pois se a distância entre o vértice e o 3 é 1 e a distância entre o 3 e o ponto que intersecta o eixo y é 1.
        O gráfico intersecta o eixo x no 2 e no -4, pois a distância entre o -2 e o ponto é de 2 unidades então a distância do ponto ao 0 é de 2 unidades, sendo assim esse ponto é 2. A distância ente o ponto e o -1 e o vértice é de 3 unidades então a distância entre ele e o ponto é de 3 também, sendo assim esse ponto é -4.
        O domínio dessa função é o conjunto dos reais. D = R
        O contradomínio da função é o dos reais. CD = R
        O conjunto imagem da função modular é [ -3, + ∞)
        f (x) |(|x|-1)|
        Consideramos |x|-1 como uma outra função, que no caso nomearemos de g (x).
        g (x) = |x|-1 Como o número que acompanha o |x| está fora do módulo esse gráfico é na vertical e também por ele ser negativo essa translação ocorre para baixo. O vértice foi movido 1 unidades para baixo.
        A função f (x) é: f (x) = |g (x)| Essa função NÃO pode ser negativa, então a parte da função g (x) vai s ser refletida para a parte superior do eixo x, pois ela não pode ser negativa.
        Consideramos como uma outra função, que no caso nomearemos de g (x).
        O seu gráfico é representado como uma parábola.
        O coeficiente do x elevado ai quadrado é um valor positivo e por isso a parábola tem a concavidade voltada para cima.
        Como o b não aparece esse gráfico é simétrico ao eixo x.
        O termo independente vale - 4 então está cruzando o eixo y no -4.
        Esse gráfico intersecta o eixo x nos pontos + 2 e -2 , pois se substituirmos o g (x) por 0 acharemos essas raízes:
        Por uma parte desse gráfico estar localizada abaixo do eixo x vai acontecer a mesma coisa que no outro exemplo. Consideramos o eixo x como um espelho e teremos uma reflexão da parte negativa do gráfico para a parte de cima do eixo x.
Módulo de um número real
- O módulo ou valor absoluto de um número real x, que representamos por |x|, é definido através da seguinte relação:
  - |x|=x , se ≥ 0 (o módulo do x será ele mesmo se o x for positivo ou 0)
    - ou
      - |x|=-x , se < 0 (o módulo do x será o oposto do x se o x for negativo)
        Exemplos:
        1. Calcule o valor de:
        2.|3| = 2 . 3 = 6
        O 3 é positivo, então o valor do módulo será o próprio x.
        |-4|+ |-2|= - (-4) + ( - (-2) ) = + 4 + 2 = 6
        O -4 é negativo, então o valor do módulo – x, a mesma coisa acontece como o -2.
        |-3|- |7| = 3 – 8 = -5
        |-7+2|= |-5|=5
        Primeiro resolvemos o que está dentro do módulo.
        |(-5).(-8)|= |40|=40
        2. Calcule o valor dos seguintes módulos:
        |5-x| quando x = 8
        No lugar do x vamos colocar 8: |5-8|= |-3|=3
        |5-x| com x > 5
        Se no lugar do x colocarmos um número maior que 5 termos um número negativo e o módulo disso será o oposto: |5-x|= -(5-x)=-5+ x
        |5-x| com x ∈ R
        Vamos fazer a análise do sinal desse módulo, então vamos considerar esse |5-x| uma função:
        f (x) = 5 – x
        Essa é uma função do 1° grau.
        O gráfico de uma função do 1° grau tem a representação em forma de reta.
        Por o x ser negativo a reta é decrescente.
        Agora vamos identificar qual é o valor do ponto que intersecta o x:
        5 – x = 0 x = 5
        Para valores menores do que 5 a função é positiva e para valores maiores do que 5 a função é negativa.
        O módulo de uma função positiva é a própria função e o módulo de uma função negativa será - f (x).
        |5-x|= -(5-x)=5+x
        O módulo foi uma sentença que é essa chave com 2 respostas.
        |x-5|+|x-2| com x < 2
        Se o |x-5| for menor do que 2 o resultado vai ser negativo.
        Se |x-2| for menor do que 2 o resultado vai ser negativo.
        O módulo de um número negativo é o oposto dele: - (x - 5) - (x -2)
        Fica então (–x + 5) + (- x + 2)
        Somamos o x com x e o 5 com 2 e o resultado é: -2x + 7
        |x-5|+|x-2| com x ∈ R
        Temos de fazer a análise do sinal desses módulos separadamente: |x-5|=f (x) |x-2| = g (x)
        f (x)= |x-5| Vamos fazer a análise de sinais e descobrir a raiz:
        x – 5 = 0 x = 5
        g (x)= |x-2| Vamos fazer a análise de sinais e descobrir a raiz:
        x – 2 = 0 x = 2
        Agora fazendo a análise de sinal dessas funções juntas:
        A primeira reta: f (x) = colocamos no eixo x a raiz da função (5), se o x for maior que 5 a função vai ficar x – 5, e se o x for menor que 5 a função vai ficar – x + 5.
        segunda reta: g (x) = colocamos no eixo x a raiz da função (2), se o x for maior que 2 a função vai ficar x – 2, e se o x for menor que 2 a função vai ficar – x + 2.
        A terceira reta: f (x) + g (x) = fazemos um pontilhado de onde estão as duas raízes (5 e 2). Agora é só somar as colunas:
        (- x + 5) + (-x + 3) = - 2x + 7
        (- x + 5) + (x - 2) = 3
        (x + 5) + (x - 2) = 2x – 7
        O resultado fica uma sentença assim:
Propriedades envolvendo modulo:
- Propriedade 1: para todo x ∈ R, temos |x|=|-x|.
  - Exemplo: |3|=|-3| O módulo de 3 é 3 e o modulo de -3 é 3: 3=3
    - Propriedade 2: para todo x ∈ R, temos
      - Exemplos:
        Observação:
        Para todo x x ∈ R, temos
        Pode até cortar o expoente com o 2 do radical, mas tem de ser colocado |-3|, porque o resultado desse modulo é 3.
        Propriedade 3: para todo x e y pertencentes aos R, temos |x .y|= |x| .|y|
        Exemplos:
        x = 3 e y = -2
        |3 .(-2)|= |3| .|(-2)|
        |-6|= 3 .2
        6 = 6
        Propriedade 4: para todo x e y pertencentes aos R, temos |x+ y| ≤ |x|+|y|
        Exemplos:
        Para x = 5 e y = 4
        |5+ 4|= |5|+|4|
        |9|=5+4
        9 = 9
        Para x = -3 e y = 2
        |-3+ 2|< |-3|+|2|
        |-1|< 3+2
        1< 5
Inequações Modulares:
- Inequações modulares são aquelas que envolvem a incógnita em módulo.
  - -Observação: Nos dois últimos casos, temos que:
    - Seja o número real a > 0
      - |x| < a → - a < x < a
      - Quando o modulo de x for menor do que a, asolução x estará ente o – a e o a).
        Graficamente fica:
        |x| > a → x < - a ou x > a
        Quando o modulo de x for maior do que a, a solução x será os valores menores do que –a e maiores do que a).
        Exemplos:
        Resolva as seguintes inequações:
        |x+2| < 5
        Seguiremos a regra: |x| < a → - a < x < a
        Então fica: -5 < x +2 < 5
        Agora é só resolver a inequação: -5 < x +2 < 5 → -5 -2 < x < 5 -2 → -7< x < 3
        Os possíveis valores de x são os valores que estão entre o -7 e o 3.
        Graficamente fica:
        S = {x ∈ R | -7 < x < 3}
        |x-1| ≥ 4
        Seguiremos a regra: |x| > a → x < - a ou x > a
        Reta:
        Então fica: x – 1 ≤ - 4 ou x – 1 ≥ 4
        Fazendo as inequações:
        Os possíveis valores de x são os valores que são menores que -3 ou maiores que 5.
        Graficamente fica: imagem
        S = {x ∈ R | x ≤ -3 ou x ≥ 5}
        |3x-2| ≤ - 1 O modulo de x sempre vai ser maior do que 0.
        A solução S = ∅
        4<|x+1| < 6 Essa é uma equação modular simultânea.
        Vamos separar essa inequação em 2:
        I - |x+1| < 6
        Na reta fica:
        O x + 1 está entre -6 e 6. -6 < x +1 < 6
        Resolvendo fica: -6 < x +1 < 6 → -6 -1 < x < 6 – 1 → -7 < x < 5
        II - |x+1|<4
        Na reta fica:
        x + 1 é menor do que -4 ou ele é maior do que 4. x + 1 < - 4 ou x + 1 > 4
        Fazendo as inequações:
        Agora vamos fazer a intersecção entre as respostas:
        Fazermos 3 retas:
        A solução é: S = {x ∈ R | -7 < x < -5 ou 3 < x < 5}
Valor de x a partir do módulo de x:
- |x|= -2
  - Se o x for 2 ou -2 o modulo nunca via ser -2, por isso a solução é: S = ∅
    - |x|= 5 O x pode ser 5 ou -5 que o resultado vai ser 5. S = {-5, 5}
Função Modular:
- Denomina-se função modular a função f: R → R, tal que f (x) = |x|, ou seja:
  - f (x) = x, para x ≥ 0 (a função será exatamente igual a x quando o x for positivo ou 0).
    - f (x) = -x, para x < 0 (a função será exatamente igual a - x quando o x for negativo).