Matematica financeira2

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1. Descontos e Perdas

   • Para resolvermos problemas de porcentagem que envolvam descontos ou perdas, basta multiplicarmos o valor inicial por (i – 1)
     • D: valor com desconto
     • P: preço em análise (sem desconto)
     • i: taxa de desconto
     • Exemplo 2.1 O preço de etiqueta de uma calça jeans na loja “Compre Mais” é de R$ 150,00. Para o pagamento à vista, a loja dá um desconto de 8% sobre o preço da etiqueta. Qual o preço à vista da etiqueta? O valor da calça sem desconto do exemplo acima é de R$ 150,00. A taxa de desconto é dada por
       • Vamos utilizar a expressão que calcula o valor da calça com desconto. Temos que:
         • Assim, temos que o preço da calça com desconto é de R$ 138,00. Vamos à explicação de um outro exercício para fixar o conteúdo de desconto.

2. Descontos Sucessivos

   • Caso estejam presentes vários descontos sucessivos, devemos utilizar a seguinte expressão matemática para calcular o desconto final.
     • Dn : valor total de todos os descontos
     • P : preço em análise (sem desconto)
     • i1,i2,...,in : taxas do 1º, 2º, ...., nº desconto
     • Exemplo 2.3 Um cliente de uma determinada loja recebeu uma oferta de três descontos sucessivos sobre o preço de um televisor de R$ 500,00. As taxas dos descontos são, respectivamente, 2%, 5%, 10%. Qual o valor final que o cliente irá pagar pelo televisor? Vamos utilizar a expressão matemática do item 2.3 para calcularmos o valor total após todos os descontos.
       • O valor final da televisão após todos os descontos fornecidos pelo vendedor é de R$ 418,95.

3. Aumentos

   • De maneira análoga àquela que descrevemos para o cálculo do desconto, podemos ter a seguinte expressão matemática que calcula o aumento de preço.
     • A: preço com aumento
     • P: preço em análise (sem aumento)
     • i: taxa de aumento
     • Exemplo 2.5 Uma determinada loja de roupas estava em liquidação. O preço de uma jaqueta era de R$300,00. Quando a promoção terminou, a jaqueta sofreu um aumento de 15%. Qual é o novo valor após o aumento de preço? A taxa de aumento foi citada no enunciado e possui o seguinte valor.
       • Agora vamos calcular o novo preço da jaqueta após o aumento sofrido na loja em questão
         • Assim, temos que o preço da jaqueta após o aumento é de R$ 345,00.

4. Aumentos Sucessivos

   • Caso estejam presentes vários aumentos sucessivos, devemos utilizar a seguinte expressão matemática para calcular o aumento final.
     • An : valor total de todos os aumentos
     • P : preço em análise (sem aumento)
     • i1, i2,..., in : taxas do 1º, 2º, ...., nº aumento.
     • Exemplo 2.6 Um computador notebook da marca Dell de uma loja apresentou 3 aumentos sucessivos de 2%, 3% e 5% em seu preço. Sabendo que seu preço inicial era de R$1.500,00, qual é o preço após todos os aumentos? Vamos utilizar a expressão matemática deste tópico para calcularmos o preço final após todos os aumentos.
       • O valor final do computador após todos os aumentos fornecidos é de R$ 1.654,70

5. Desconto Simples

   • O desconto é o abatimento que obtemos ao saldar um compromisso antes do seu vencimento. O desconto pode ser feito considerando-se como capital o valor nominal (FV) ou o valor atual (PV). No primeiro caso, é denominado de desconto comercial; no segundo caso, desconto racional
     • FV : valor nominal (valor de face) do título, ou seja, a importância paga no dia do vencimento de um determinado compromisso, que é o valor indicado no título
     • PV : valor atual (valor descontado) do título, ou seja, o líquido pago (ou recebido) antes do vencimento
     • D : desconto
     • n : número de períodos antes do vencimento do título
     • d : taxa de desconto
     • Exemplo 2.7 Um ventilador custa R$ 100,00 em uma determinada loja. Um cliente recebeu uma proposta de um desconto de 10% se adquirir o produto à vista. Qual o valor do desconto? Note que o desconto é calculado de maneira trivial. 10% de 100 representa 10. Logo, o desconto é de R$10,00.

6. Desconto Racional Simples (Por Dentro)

   • O desconto racional simples ou desconto por dentro é o equivalente ao juro simples calculado sobre o valor atual do título no período de tempo correspondente. Devemos utilizar as seguintes expressões para o desconto racional simples
     • DR : valor do desconto racional
     • PV : valor presente ou valor atual
     • d : taxas de desconto
     • n : número de períodos antes do vencimento
     • Caso estejamos interessados em calcular o valor atual PV, basta isolarmos esse termo na expressão citada . Logo, temos
       • Utilizando a expressão (1) e substituindo em (3), temos
         • Para encontrarmos uma expressão matemática para o número de períodos, o procedimento é semelhante. Assim, temos
           • Exemplo 2.8 Camila vai descontar um título de R$ 3.000,00 à taxa de 1,5% ao mês. Faltando 30 dias para o vencimento, determine:
             • a. O valor atual, utilizando a ideia de desconto racional. Temos os seguintes dados no enunciado:
               • Vamos encontrar o PV através da seguinte expressão
                 • Assim, o valor atual é R$2.955,67
             • b. O valor do desconto racional simples. Temos a seguinte expressão para o cálculo do desconto
               • Assim, o valor do desconto racional simples é de R$44,33

7. Desconto Comercial Simples (Por Fora)

   • Desconto comercial, bancário ou por fora é o equivalente ao juro simples calculado sobre o valor nominal do título no período de tempo correspondente. Ele é o único desconto usado na prática comercial e bancária
     • As expressões matemáticas utilizadas para calcular todas as incógnitas que podem envolver o desconto comercial simples são dadas por
       • FV : valor nominal
       • PV : valor presente ou valor atual
       • d : taxa de desconto
       • n : número de períodos antes do vencimento
       • DC : valor do desconto comercial
       • Exemplo 2.9 Camila vai descontar um título de R$3.000,00 à taxa de 1,5% ao mês. Faltando 30 dias para o vencimento, determine:
         • a. O valor do desconto comercial simples. Temos a seguinte expressão para o cálculo do desconto
           • Assim, o valor do desconto comercial simples é de R$45,00.
         • b. O valor atual, utilizando a ideia de desconto comercial. Temos os seguintes dados no enunciado
           • Vamos encontrar o PV através da seguinte expressão
             • Assim, o valor atual é R$ 2.955,00

8. Relação entre a taxa de juros e a taxa de desconto

   • taxa de juro efetiva é a taxa de juro, que no período n torna o capital PV igual ao montante FV
     • no desconto racional simples temos i = d , mas no desconto comercial simples temos i != d
       • Para determinarmos a relação entre i e d no Desconto Comercial Simples, fazemos
         • Caso tenhamos interesse em encontrar d , temos
           • Qual a taxa de juros simples mensal correspondente à taxa de desconto de 20% a.m.? Os dados fornecidos no enunciado do problema são
             • Vamos utilizar a expressão matemática fornecida anteriormente para encontrar a taxa de juro simples
               • Dessa forma, podemos concluir que a taxa de juro mensal correspondente à taxa de desconto de 20% a.m. é de 25% a.m

9. Desconto Composto

   • O conceito de desconto no regime de capitalização composta é o mesmo do desconto simples. No caso de desconto composto também há a divisão em desconto racional composto e desconto comercial composto
     • Geralmente, o desconto composto é utilizado para operações de longo prazo, visto que a aplicação por meio de desconto comercial simples pode gerar resultados sem significados reais

10. Desconto Racional Composto (Por Dentro)

    • O desconto racional composto consiste em uma aplicação sucessiva do desconto racional simples, ou seja, ele coincide com o juro composto calculado sobre o valor atual (PV) do título
      • Nas aplicações em que se utiliza juro composto, utilizamos esse conceito de desconto racional composto. Como no juro composto temos FV = PV (1+i)^n , no desconto racional composto temos a expressão FV = PV (1+d)^n. As expressões matemáticas que você deve memorizar para esse caso são
        • FV : valor nominal (valor de face) do título, ou seja, a importância paga no dia do vencimento de um determinado compromisso, que é o valor indicado no título
        • PV : valor atual (valor descontado) do título, ou seja, o líquido pago (ou recebido) antes do vencimento
        • DR : desconto racional
        • n : número de períodos antes do vencimento do título
        • d : taxa de desconto
        • Assaf Neto (2010) apresenta uma expressão que pode ser utilizada para calcular diretamente o valor do desconto racional composto, que é
          • Vale ressaltar que o i utilizado na expressão de Assaf Neto (2010) é o d na expressão que citamos acima
        • O desconto racional composto de um título de R$100.000,00 foi de R$21.647,38. Sabendo-se que a taxa de desconto foi de 5% a.m., qual foi o prazo de antecipação? Note que queremos encontrar o valor de n. Os dados fornecidos no enunciado do problema são
          • Primeiramente precisamos encontrar o valor atual através da seguinte expressão
            • Agora vamos encontrar o que foi pedido no enunciado utilizando uma expressão que já foi fornecida neste tópico

11. Desconto Comercial Composto (Por Fora)

    • O desconto comercial composto é uma aplicação sucessiva do desconto comercial simples. Assim, temos que ele coincide com o juro composto calculado sobre o valor nominal (FV) do título. As expressões matemáticas que você deve compreender para esse caso são
      • Exemplo 2.14 Beatriz possui um título de valor nominal igual a R$5.000,00, vencível em 3 anos. Ela o resgatou à taxa de desconto comercial composto de 12% ao ano, capitalizados semestralmente. Qual o valor atual do título de Beatriz? Note que queremos encontrar o valor de PV. Devemos converter o prazo e a taxa de desconto para semestre, visto que a capitalização ocorre de maneira semestral. Os dados fornecidos no enunciado do problema são
        • Agora vamos encontrar o que foi pedido no enunciado utilizando uma expressão que já foi fornecida neste tópico
          • Assim, temos que o valor atual é de R$3.449,35
      • FV : valor nominal (valor de face) do título, ou seja, a importância paga no dia do vencimento de um determinado compromisso, que é o valor indicado no título
      • PV : valor atual (valor descontado) do título, ou seja, o líquido pago (ou recebido) antes do vencimento
      • DR : desconto racional
      • n : número de períodos antes do vencimento do título
      • d : taxa de desconto

12. Relação entre a Taxa de Juro e a Taxa de Desconto Composto

    • A expressão que fornece o valor nominal para juro compostos é
      • No desconto comercial composto, temos a seguinte expressão
        • Assim, substituindo a segunda expressão na primeira, temos
          • Fazendo todas as devidas álgebras, encontramos a seguinte expressão
            • De maneira análoga, temos
    • Calcule a taxa de juros compostos mensal correspondente à taxa de desconto comercial de 20% a.m. Os dados fornecidos no enunciado do problema são:
      • Utilizando a expressão que encontramos neste tópico, temos que
        • Assim, temos a taxa de juros compostos mensal correspondente à taxa de desconto comercial de 20% a.m. é de 25% a.m

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