Optimización en cálculo diferencial

Optimización en cálculo diferencial

1. Criterios de segunda derivada

   • Sea f una función dos veces derivable en el intervalo ] a , b [ ⊂ R y sea z ∈ ] a , b [ tal que f ′ ( z ) = 0 . Entonces, Si f ′′ ( z ) < 0 , entonces f tiene un máximo relativo en z . Si f ′′ ( z ) > 0 , entonces f tiene un mí­nimo relativo en z .
   • Aplicación.
     • La aplicación directa del criterio de la segunda derivada es determinar si los puntos crí­ticos de una función (puntos que anulan la primera derivada) son máximos o mí­nimos.

2. ¿Qué es?

   • Optimizar una función se refiere a encontrar sus valores máximos y mínimos, esto significa que hay que encontrar los valores en el dominio de la función para los cuales se alcanza el máximo y mínimo en el codominio .

3. Aplicaciones.

   • Sus principios y métodos se usan para resolver problemas cuantitativos en disciplinas como Economía, Física,Ingeniería y Biología.
   • Un ejemplo de su aplicación sería en una empresa que busca mejorar sus aspectos de costo-producción.

4. Puntos de inflexión

   • ¿Qué son?
     • Son aquellos puntos en los que la gráfica de la función cambia de concavidad, es decir, pasa de cóncava a convexa o viceversa.
   • Teorema
     • Sí (c,f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de , entonces f''(c) = 0 o bien f'' no existe en x=c.

5. Criterios de primera derivada

   • Sea f una función continua en el intervalo [ a , b ] ⊂ R y derivable en ] a , b [ . Entonces, La función f es monótona creciente en el intervalo ] a , b [ si, y sólo si, f ′ ( x ) ≥ 0 para todo x ∈ ] a , b [ . La función f es monótona decreciente en el intervalo ] a , b [ si, y sólo si, f ′ ( x ) ≤ 0 para todo x ∈ ] a , b [ .
   • Aplicación
     • Si f es creciente a la izquierda de c y decreciente a su derecha, c es un máximo.
     • Si f es decreciente a la izquierda de c y creciente a su derecha, c es un mínimo.
     • Si la monotonía de f es igual a ambos lados de c , entonces c no es un extremo relativo.

6. Puntos críticos

   • ¿Qué son?
     • Es cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0.​​ En ellos se puede presentar un máximo relativo o un mínimo relativo.
   • Máximos
     • Un máximo es el valor más grande que tiene la función local o globalmente.
   • Mínimos
     • Un mínimo es el valor más pequeño que tiene la función local o globalmente.

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