Funciones polinomiales de grados 3 y 4

Funciones polinomiales de grados 3 y 4

1. Los casos de funciones polinomiales

   • Vamos a empezar con sus gráficas y después vamos a estudiar algunos resultados teóricos.
     • La función polinomial de tercer grado es toda aquella función que se puede escribir de la forma:
       • y = a3 x3+ a2 x2+ a1 x + a0
         • Donde a3 6= 0. La función polinomial de tercer grado también se conoce como función cúbica.
         • Para encontrar la forma de calcular la expresion hacemos este mecanismo
           • Empezamos calculando sus raíces. Para que y = 0 se requiere que x3 = 0. En palabras esto nos está diciendo que debemos encontrar los números que al multiplicarlos por sí mismo tres veces obtengamos cero. El único número que satisface la condición anterior es x = 0. Esta es la única raíz de la función. Para encontrar el dominio recuerda que el dominio de cualquier función polinomial es el conjunto de los números reales. El contradominio se calcula de la sigiuente manera: 3 Observa que cuando x es positivo, el resultado de elevarlo al cubo es positivo también. 3 Cuando x es negativo el resultado de elevarlo alcubo es negativo. Entonces, el contradominio también es el conjunto de los números reales, porque cuando x crece mucho los resultados de elevarlo al cubo también crece mucho. Esto mismo pasa con valores tanto positivos como negativos.
           • Para encontrar una raíz de la función debemos contestar a la pregunta: «¿Qué número multiplicado por sí mismo tres veces es igual a cero?» Y la respuesta es obvia: «el número cero multiplicado por sí mismo nos da cero», (0)(0)(0) = 0. Es decir, x = 0 es una raíz de la función, porque f (0) = 0.

2. Metodos de solucion

   • División sintética
     • La división sintética entre dos polinomios se realiza utilizando solamente los coeficientes.
   • Teorema del residuo
     • Si el polinomio Pn (x) se divide entre x − a, el residuo de la división es igual al resultado de evaluar el polinomio en el punto x = a.
       • Por el teorema anterior, si al dividir el polinomio: x3 − 4 x2 − 17 x + 30 entre x − 6 obtenemos como residuo cero, entonces sí es una raíz de la función.
   • Teorema Fundamental del álgebra
     • Sea y = Pn (x) una función polinomial. Esta función tiene exactamente n raíces
       • La función polinomial y = Pn (x) tiene exactamente n raíces, algunas de las cuales pueden ser complejas conjugadas
         • Como x = 3 es una raíz, podemos dividir el polinomio entre x − 3 y debemos obtener como cociente un polinomio de grado 4
           • ✓ Verificar que y(r) = P5 (r) = 0, siendo r cada una de las raíces que se calcularon. ✓ Graficar la función. ✓ Calcular su dominio y contradominio.